Рассматривается двумерный оператор Дирака \widehat \sigma _1\bigl( -i\, \frac {\partial } {\partial x_1}\bigr) +\widehat \sigma _2\bigl( -i\, \frac {\partial }{\partial x_2}-Bx_1\bigr) +m\widehat \sigma _3+ V\widehat I_2 с однородным магнитным полем B с потоком \eta =(2\pi )^{-1}Bv(K)\in {\mathbb Q} через элементарную ячейку K общей решетки периодов \Lambda функции m и электрического потенциала V; \widehat \sigma _j, j=1,2,3, - матрицы Паули, \widehat I_2 - единичная 2\times 2-матрица, v(K) - площадь элементарной ячейки K. Предполагается, что m и V принадлежат пространству L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} ) периодических с решеткой периодов \Lambda функций из L^p_{\mathrm {loc}}({\mathbb R}^2;{\mathbb R} ), p>2. Для невозрастающей функции (0,1]\ni \varepsilon \mapsto {\mathcal R}(\varepsilon )\in (0,+\infty ), для которой {\mathcal R}(\varepsilon )\to +\infty при \varepsilon \to +0, пусть {\mathfrak M}^p_{\Lambda }({\mathcal R}(\cdot )) - множество функций m\in L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} ) таких, что для любого \varepsilon \in (0,1] найдется тригонометрический многочлен {\mathcal P}^{(\varepsilon )}\in L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R} ), для которого \| m-{\mathcal P}^{(\varepsilon )}\|_{L^p(K)}{\mathcal R}(\varepsilon ). Доказано, что для любой рассматриваемой функции {\mathcal R}(\cdot ) в банаховом пространстве (L^p_{\Lambda } ({\mathbb R}^2;{\mathbb R}),\| \cdot \| _{L^p(K)}) существует множество второй категории (плотное G_{\delta }-множество) {\mathcal O} такое, что для любого электрического потенциала V\in {\mathcal O}, любой функции m\in {\mathfrak M}^p_{\Lambda }({\mathcal R}(\cdot )) и любого однородного магнитного поля B с потоком \eta \in {\mathbb Q} спектр оператора Дирака абсолютно непрерывен.
Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета
2019. — Выпуск 2(54)
Содержание:
Для отображений, действующих из метрического пространства (X,\rho_X) в пространство Y, на котором определено расстояние (то есть отображение d\colon X\times X \to \mathbb{R}_+ такое, что d(x,u)=0 \Leftrightarrow x=u), определяется следующий аналог свойства накрывания. Множеством \alpha-накрывания отображения f\colon X\to Y названо множество \mathrm{Cov}_{\alpha}[f]=\{(x,\tilde{y})\in X \times Y \colon \exists \tilde{x} \in X \ f(\tilde{x})=\tilde{y}, \ \rho_{X} (\tilde{x},x)\leqslant{\alpha}^{-1} d_{Y}\bigl(\tilde{y},f(x)\bigr)\}. Для заданных \tilde{y}\in Y, \Phi\colon X \times X \to Y рассматривается уравнение \Phi(x,x)=\tilde{y}. Сформулирована теорема о существовании решения. Исследуется проблема устойчивости решений к малым изменениям отображения \Phi. А именно, рассмотрена последовательность таких отображений \Phi_{n}\colon X \times X \to Y, n=1,2,\ldots, что для всех x\in X выполнено (x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x)\big], отображение \Phi_n(x,\cdot) является \beta-липшицевым и для решения x^{*} исходного уравнения имеет место сходимость d_{Y}\big(\tilde{y}, \Phi_{n}(x^{*},x^{*})\big)\to 0. При выполнении этих условий утверждается, что при любом n существует x^{*}_{n} такой, что \Phi_{n}(x^{*}_{n},x^{*}_{n})=\tilde{y} и \{x^{*}_{n}\} сходится к x^{*} в метрическом пространстве X. Также в статье рассмотрено уравнение \Phi(x,x,t)=\tilde{y} с параметром t - элементом топологического пространства. Предполагается, что (x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x,t)\big], отображение \Phi_n(x,\cdot,t) является \beta-липшицевым, а отображение \Phi_n(x,x,\cdot) - непрерывным. Доказаны утверждения о полунепрерывной сверху и снизу зависимости множества решений от параметра t.
Ключевые слова
В работе рассматривается сформулированная В.Н. Ушаковым задача о поиске треугольников с целыми длинами сторон a, b, c, удовлетворяющими соотношениям a^2=b^2+c^2+k и \dfrac{a}{c}=\dfrac{3}{2}, где k - целое число, отличное от нуля. В работе приводится необходимое и достаточное условие на число k, при котором такие треугольники существуют. Доказательство имеет конструктивный характер и позволяет, в случае выполнения критерия, указать бесконечное число троек (a,b,c), удовлетворяющих указанному свойству.
Ключевые слова
В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей группы убегающих, описываемая системой вида D^{(\alpha)} z_{ij} = a z_{ij} + u_i - v, где D^{(\alpha)} f - производная по Капуто порядка \alpha \in (0,1) функции f. Предполагается, что все убегающие используют одно и то же управление. Целью преследователей является поимка заданного числа убегающих. Убегающие используют программные стратегии, преследователи - программные контрстратегии, причем каждый преследователь ловит не более одного убегающего. Множество допустимых управлений - шар единичного радиуса с центром в начале координат, целевые множества - начала координат. В терминах начальных позиций и параметров игры получено достаточное условие поимки.
Ключевые слова
В статье математически строго изучено отражение Андреева для матричного дифференциального гамильтониана Боголюбова-де Жена, описывающего электроны и дырки в одномерной гибридной структуре нормальный металл-p-волновой сверхпроводник. При этом используется описываемая в статье физически корректная симметризованная форма гамильтониана. Гамильтониан содержит в своем составе два дельтаобразных потенциала, один из которых моделирует примесь в сверхпроводнике, а второй характеризует «прозрачность» перехода нормальный металл-сверхпроводник. Доказано, что в случае топологической фазы имеет место полное андреевское отражение, т.е. налетающий со стороны нормального металла электрон с энергией в лакуне, имеющейся в спектре гамильтониана Боголюбова-де Жена (сверхпроводящей щели), с вероятностью единица отражается как дырка независимо от величины параметров в потенциалах, описывающих примесь и «прозрачность» перехода. Для нетопологической фазы найдены формулы для вероятностей отражения дырки (андреевское отражение) и электрона (нормальное отражение). В
Ключевые слова
В работе рассматриваются два обобщения выпуклых множеств на плоскости. Первым обобщением являются \alpha-множества. Они представляют собой множества, которые допускают существование нескольких проекций на себя из произвольной точки на плоскости. Однако, эти проекции должны быть видны из этой точки под углом, не превышающим некоторого значения \alpha. Второе обобщение представляет собой ослабление определения выпуклых множеств, согласно которому отрезок, соединяющий две точки выпуклого множества, также находится внутри него. Рассмотрены центрально симметричные множества, для которых это утверждение выполняется только для двух точек, лежащих по разные стороны некоторой заданной прямой. Для этих двух типов невыпуклых множеств рассмотрена задача нахождения максимального по площади подмножества. Решение данной задачи может быть полезно для нахождения субоптимальных решений задач оптимизации и, в частности, линейного программирования. Доказано обобщение оценки Понтрягина для геометрической разности \alpha-множества и круга в \mathbb{R}^2. Кроме того, в качестве следствие приведено утверждение о том, что \alpha-множество на плоскости обязательно содержит ненулевую точку с целочисленными координатами в случае, если его площадь превышает некоторое критическое значение. Это следствие представляет собой одно из обобщений теоремы Минковского для невыпуклых множеств.
Ключевые слова
Рассматриваются ультрафильтры и максимальные сцепленные системы широко понимаемых измеримых пространств (имеются в виду непустые множества с \pi-системами своих подмножеств). Множества ультрафильтров и максимальных сцепленных систем превращаются в битопологические пространства в результате применения конструкций, на идейном уровне отвечающих схемам Волмэна и Стоуна. Основное внимание уделяется пространству ультрафильтров в оснащении топологией волмэновского типа. Получены условия на исходную \pi-систему, при которых данное пространство суперкомпактно. Указаны конкретные классы (широко понимаемых) измеримых пространств, для которых реализуются упомянутые условия. Исследуется также одна абстрактная задача о достижимости в условиях, когда выбор конкретного варианта решения может обладать неопределенностью следующего типа: множество, задающее ограничение может быть любым в пределах заданного априори непустого семейства. Рассматривается вопрос о существовании универсально реализуемых (в пределе) элементов пространства значений целевого оператора задачи. При получении достаточных условий использовалось свойство суперкомпактности пространства ультрафильтров измеримой структуры, достаточной (в рамках соответствующих предположений) для реализации всех возможных вариантов ограничений на выбор обычного решения (управления).
Ключевые слова
The extreme routing problem focused on engineering applications in mechanical engineering is considered. We mean the well-known task of tool controlling in the CNC sheet cutting machines. A mathematical model is presented which includes a system of megalopolises (nonempty finite sets) and cost functions depending on the list of tasks. Megalopolises are constructed on the basis of discretization of equidistant curves of part contours. The dependence on the list of tasks is connected with reasons associated with the dynamic constraints that arise in the process of task completion. Among all restrictions, the conditions of precedence are distinguished (earlier cutting of the inner contours and more earlier cutting of large parts). Rational consideration of the precedence conditions allows one to reduce the complexity of calculations when widely understood dynamic programming (DP) is used in the implementation that develops R. Bellman's scheme. This approach makes it possible to solve the problem of optimizing complexes, which include the initial state (starting point), the method of numbering megalopolises in the order of their visits, and the specific trajectory of the process. For a problem complicated by the dependence of the terminal function on the initial state, a decomposition algorithm is used, which allows, in a substantial part of the procedure, the application of a single (for all initial states) DP scheme. The optimal algorithm based on DP is implemented as a program for PC; a computational experiment is conducted.
Ключевые слова
Рассмотрены спектральные особенности в вопросе разрешимости и построения решений неоднородной краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с двумя спектральными параметрами, вырожденным ядром, интегральными условиями и отражением аргумента. Применен и развит метод вырожденного ядра. Получена система алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных интегрирования. Изучены особенности, возникающие при решении систем алгебраических уравнений. Вычислены соответствующие этим особенностям спектральные значения параметров. Установлены критерия однозначной разрешимости поставленной нелинейной задачи для регулярных значений спектральных параметров. При доказательстве однозначной разрешимости этой задачи применены метод последовательных приближений и метод сжимающих отображений. Для регулярных значений спектральных параметров показана непрерывность решения неоднородной краевой задачи по интегральным данным. Выявлено также условие малости этого решения. Для иррегулярных значений спектральных параметров изучены вопросы существования или отсутствия решений рассматриваемой нелокальной краевой задачи. Построены решения, соответствующие значениям спектральных параметров, в случае существования.