Обзор посвящен классическим и современным задачам, связанным с целой функ- цией �(u; �), которая определяется семейством неособых алгебраических кривых ро- да 2, где u = (�1, �3), � = (�4, �6, �8, �10). Эта функция является аналогом сигма- функции Вейерштрасса �(�; �2, �3) семейства эллиптических кривых. Логарифмические производные порядка 2 и выше функции �(u; �) порождают поле гиперэллиптических функций от u = (�1, �3) на якобианах кривых с фиксированным значением вектора параметров �. Мы рассматриваем три ряда Гурвица �(u; �) = Σ︀ �,�>0 ��,�(�) �� 1 �� 3 �!�! , �(u; �) = Σ︀ �>0 ��(�1; �) �� 3 �! и �(u; �) = Σ︀ �>0 ��(�3; �) �� 1 �! . Обзор посвящен теоретико- числовым свойствам функций ��,�(�), ��(�1; �) и ��(�3; �). Он включает самые последние результаты, доказательства которых использует тот фундаментальный факт, что функ- ция �(u; �) определяется системой четырех уравнений теплопроводности в неголономном репере шестимерного пространства.
Чебышевский сборник
2020. — Выпуск 1 (73)
Содержание:
Изучение действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях и их коор- динатных алгебрах является важной областью исследований в алгебраической геометрии и теории колец. Эта область связана с теорией полиномиальных отображений, ручных и диких автоморфизмов, проблемой якобиана, теорией бесконечномерных многообразий по Шафаревичу, проблемой сокращения (вместе с другими подобными вопросами), теорией локально нильпотентных дифференцирований. Одной из центральных задач теории дей- ствий алгебраических групп является проблема линеаризации, изученная в работе Т. Кам- баяши и П. Расселла, утверждающая, что всякое действие тора на аффинном простран- стве линейно в некоторой системе координат. Гипотеза о линеаризации была основана на хорошо известной классической теореме А. Бялыницкого — Бирули, которая гласит, что всякое эффективное регулярное действие тора максимальной размерности на аффинном пространстве над алгебраически замкнутым полем допускает линеаризацию. Несмотря на то что гипотеза о линеаризации оказалась отрицательной в ее общем ви- де — контрпримеры в положительной характеристике были построены Т. Асанума — тео- рема Бялыницкого — Бирули остается важным результатом теории благодаря ее связи с теорией полиномиальных автоморфизмов. Недавние продвижения в последней мотивиро- вали поиск различных некоммутативных разновидностей теоремы Бялыницкого — Биру- ли. В данной статье мы приведем доказательство теоремы о линеаризации эффективного действия максимального тора автоморфизмами свободной ассоциативной алгебры, явля- ющейся таким образом свободным аналогом теоремы Бялыницкого — Бирули.
Ключевые слова
В работе исследуются многообразия представлений двух классов конечно порожденных групп. Первый класс состоит из групп с копредставлением � = ⟨�1, . . . , ��, �1, . . . , ��, �1, . . . , �� | ��1 1 = . . . = ��� � = �21 . . . �2 � �(�1, . . . , ��, �1, . . . , ��) = 1⟩, где � > 3, �� > 2 для � = 1, . . . , � и �(�1, . . . , ��, �1, . . . , ��) — элемент в нормальной форме в свободном произведении циклических групп � = ⟨�1 | ��1 1 ⟩*. . .*⟨�� | ��� � ⟩*⟨�1⟩*. . .*⟨��⟩. Второй класс состоит из групп с копредставлением �(�, �) = ⟨�1, . . . , ��, �1, . . . , ��, �1, . . . , ��, � | ��1 1 = . . . = ��� � = 1, ����−1 = ��⟩, где � и � — целые числа, такие, что � > |�| ≥ 1, (�, �) = 1, �� > 2 для � = 1, . . . , �, � > 3, � = �21 . . . �2 � �(�1, . . . , ��, �1, . . . , ��) и �(�1, . . . , ��, �1, . . . , ��) — элемент, определен- ный выше. Найдены неприводимые компоненты многообразий представлений ��(�) и ��(�(�, �)), вычислены их размерности и доказано, что каждая неприводимая компонента является рациональным многообразием.
Ключевые слова
В работе исследуются конечные циклические полукольца с полурешеточным сложени- ем, определенные как конечные циклические мультипликативные моноиды ⟨�, ·⟩ с введен- ной на них операцией сложения (+), так, что алгебраическая структура ⟨�,+⟩ является верхней полурешеткой и выполняются законы дистрибутивности умножения относительно сложения. Описано строение конечных циклических полуколец с полурешеточной аддитивной опе- рацией, заданной двухпорожденным идеалом полукольца целых неотрицательных чисел. Результатом работы является теорема о строении циклических полуколец с полуре- шеточной аддитивной операцией, заданной двухпорожденным идеалом полукольца целых неотрицательных чисел. Полученный результат, в частности, позволяет установить ко- личество циклических полуколец, соответствующих каждому двухпорожденному идеалу полукольца целых неотрицательных чисел. В работе используется аппарат идеалов полукольца целых неотрицательных чисел. По- лучены некоторые свойства идеалов полукольца целых неотрицательных чисел, определя- ющих структуру конечных циклических полуколец. Работа дополняет исследования Е. М. Вечтомова и И. В. Орловой, где строение конеч- ных циклических полуколец с идемпотентным некоммутативным сложением описано через конечные циклические полуполя и конечные циклические полукольца с полурешеточным сложением.
Ключевые слова
В работе предпринимается обзор современного состояния теории быстрых алгоритмов умножения чисел и многочленов. Рассматривается процесс эволюции методов умножения от первых блочных алгоритмов Карацубы и Тоома 1960-х гг. к методам 1970-х гг., опи- рающимся на дискретное преобразование Фурье (ДПФ), и далее к новейшим методам, разработанным в 2007–2019 гг. Современные методы умножения сочетают использование специальных алгебраических структур, переход к приближенным вычислениям, особые формы преобразований Фурье: многомерное ДПФ, аддитивный аналог ДПФ. Эти и дру- гие существенные для быстрых методов умножения концепции подробно рассматриваются в настоящем обзоре. Отдельно предусмотрено введение в теорию ДПФ с извлечением необ- ходимых для изложения материала фактов. В заключительной части обзора приводятся краткие сведения о результатах в области параллельных алгоритмов умножения, аккурат- ных оценок сложности базовых методов умножения, алгоритмов умножения в реальном времени, мультипликативной сложности умножения многочленов над конечными полями. Отмечены модели вычислений, в которых умножение имеет линейную или квадратичную сложность.
Ключевые слова
В настоящей работе получены примеры алгебраических тождеств между фундамен- тальными матрицами обобщённых гипергеометрических уравнений. В некоторых случаях эти тождества порождают все алгебраические соотношения между компонентами решений гипергеометрических уравнений. Обобщённые гипергеометрические функции (см. [1–5]) — это функции вида ���(�) = ���(⃗�; ⃗�; �) = �+1�� (︂ 1, �1, . . . , �� �1, . . . , �� ⃒⃒⃒⃒ � )︂ = ∞Σ︁ �=0 (�1)� . . . (��)� (�1)� . . . (��)� ��, где 0 6 � 6 �, (�)0 = 1, (�)� = �(� + 1) . . . (� + � − 1), ⃗� = (�1, . . . , ��) ∈ C�, ⃗� ∈ (C ∖ Z−)�. Функция ���(⃗�; ⃗�; �) удовлетворяет (обобщённому) гипергеометрическому дифферен- циальному уравнению �(⃗�; ⃗�; �) � = (�1 − 1) . . . (�� − 1), где �(⃗�; ⃗�; �) ≡ ⎛ ⎝ Π︁� �=1 (� + �� − 1) − � Π︁� �=1 (� + ��) ⎞ ⎠, � = � � �� . В теории трансцендентных чисел одним из основных методов является метод Зигеля- Шидловского (см. [4], [5]), который позволяет доказывать трансцендентность и алгебраи- ческую независимость значений целых функций некоторого класса, включающего в себя функции ���(���−�), при условии алгебраической независимости этих функций над C(�). В статье [6] Ф. Бейкерсом, В. Браунвеллом и Г. Хекманом были введены важные для установления алгебраической зависимости и независимости функций понятия когради- ентности и контрградиентности дифференциальных уравнений (фактически эти понятия возникли ранее в статье Е. Колчина [7]). Настоящая работа посвящена подробному доказательству и дальнейшему развитию результатов о коградиентности и контрградиентности, опубликованных в заметках [8] и [9]. В частности, уточняются некоторые результаты статьи [6].
Ключевые слова
В статье рассмотрены свойства квазиметрики среднего времени первого прохода — обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными це- пями Маркова. Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы. В первом разделе собраны основные понятия теории цепей Маркова — последователь- ностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся тем, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошло- го. Точнее, математическая модель некоторого случайного процесса представляет собой марковскую цепь, если распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависит только от параметров процесса в предыдущий момент. Во втором разделе собраны базовые определения, необходимые для рассмотрения роли графовых моделей в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Мар- кова. Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Процесс будет эргодическим, если построенный взвешенный орграф являет- ся слабо связным, и наибольший общий делитель длин всех его циклов равен единице. С другой стороны, любой связный граф может служить базой для построения модели про- стейшей цепи Маркова: если вершина � имеет степень �, то все выходящие из нее ребра превращаются в дуги с весами 1 � . В третьем разделе дано определение среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Представлены несколько способов построения соответству- ющей матрицы �. Подробно проанализирован алгоритм нахождения среднего времени первого прохода с помощью использования сходящихся деревьев ориентированного гра- фа, связанного с матрицей перехода эргодической однородной цепи Маркова. Описана родственная рекуррентная процедура. В четвертом разделе матрица среднего времени первого прохода рассмотрена как ква- зиметрика � среднего времени первого прохода на множестве вершин � = {1, 2, ..., �} ориентированного графа, соответствующего матрице перехода эргодической однородной цепи Маркова: �(�, �) — ожидаемое количество шагов (дуг) для случайного блуждания на орграфе Γ, начинающегося с �, для достижения � в первый раз. Эта квазиметрика обладает рядом важных теоретических и прикладных свойств. В частности, квазиметри- ка среднего времени первого прохода для простого случайного блуждания по связному невзвешенному графу �, в котором из любой вершины графа существует равная вероят- ность перемещения в любую соседнюю вершину, является взвешиваемой квазиметрикой, т.е. существует весовая функция � : � → R>0, такая, что для всех �, � ∈ � имеет место сотношение �(�, �) + �� = �(�, �) + �� . Менее изучены, но не менее интересны связи ква- зиметрики среднего времени первого прохода с другими метрическими структурами на графах, в частности, с �-метрикой леса и ее вариациями. Наконец, в пятом разделе рассмотрены примеры построения и исследования квази- метрики среднего времени первого прохода. Помимо иллюстрации ”графовой“ процедуры построения матрицы �, представлены рекуррентные алгоритмы исследования и проана- лизированы получающиеся при этом обобщенные метрические структуры.
Ключевые слова
В работе для произвольного моноида �(��) с экспоненциальной последовательностью простых чисел �� типа � решается обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида �(��), исходя из асимптотики распределе- ния простых чисел последовательности простых чисел �� типа �. Для решения этой задачи вводится понятие произвольной экспоненциальной после- довательности натуральных чисел типа � и рассматривается моноид, порожденный этой последовательностью. С помощью двух гомоморфизмов таких моноидов задача о распре- делении плотности сводится к аддитивной задаче Ингама. Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Введено новое понятие � логарифмической �-степенной плотности. Показано, что любой моноид �(��) для произвольной экспоненциальной последо- вательности простых �� типа � имеет � логарифмическую �-степенную плотность с � = � √︁ 2 3 ln � и � = 1 2 .
Ключевые слова
В статье доказана алгоритмическая неразрешимость позитивных ∀2∃24-теории и ∀3∃2- теории любой алгебраически замкнутой группы и класса всех алгебраически замкнутых групп. Установлена разрешимость в любой алгебраически замкнутой группе � каждого уравнения вида �(�1, . . . , ��) = �, где �(�1, . . . , ��) — непустое несократимое групповое слово от неизвестных �1, ...., ��, а � — произвольный элемент группы �.
Ключевые слова
Обобщенная гипергеометрическая функция определяется суммой степенного ряда, ко- эффициентами которого являются произведения значений некоторой дробной рациональ- ной функции. Взятые со знаком минус корни числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей гипергеометрической функции. Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций и их про- изводных (включая производные по параметру) часто используют метод Зигеля. Соответ- ствующее рассуждение, как правило, начинается с построения функциональной линейной приближающей формы. Если параметры гипергеометрической функции рациональны, то для построения этой формы можно применить принцип Дирихле. При этом построение возможно не только для самих гипергеометрических функций, но и для произведений их степеней. Этим объясняется общность результатов, получаемых таким методом. Если, од- нако, среди параметров имеются иррациональные числа, то применение принципа Дирих- ле невозможно, и для проведения соответствующего исследования приходится привлекать дополнительные соображения. Одним из способов преодоления затруднения, связанного с наличием иррациональных чисел среди параметров гипергеометрической функции является применение эффектив- ного построения линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение. Первоначально эффективные конструкции построения таких приближений появились для функций специального вида (числитель рациональной функции, с помощью которой опре- деляются коэффициенты гипергеометрической функции должен был равняться единице). Изучение свойств этих приближений показало, что они могут оказаться полезными и в случае рациональных параметров: получаемые с помощью эффективных методов количе- ственные результаты оказались точнее их аналогов, полученных методом Зигеля. В даль- нейшем методы эффективного построения линейной приближающей формы обобщались в различных направлениях. В данной работе предлагается новая эффективная конструкция линейной приближаю- щей формы для случая, когда для гипергеометрических функций рассматриваются также и производные по параметру. Эта конструкция используется для уточнения оценки снизу меры линейной независимости значений соответствующих функций.
Ключевые слова
Рациональные числа распределены равномерно, хотя расстояния между соседними ра- циональными числами в последовательности Фарея могут сильно разниться. Для алгеб- раических чисел это свойство не выполняется. В 2013 г. Д. Коледа [6, 7] нашел функцию плотности распределения действительных алгебраических чисел любой степени при их естественном упорядочивании. Можно доказать, что количество действительных алгебраических чисел � степени � и высоты �(�) 6 � асимптотически равно �1(�)��+1. Недавно было доказано, что суще- ствуют интервалы длины �−�, � > 1, свободные от алгебраических чисел �,�(�) 6 �, однако уже при 0 6 � < 1 их не менее чем �2(�)��+1−�. В работе показано, что специальные интервалы длины �−� и при больших � могут содержать алгебраические числа, однако их количество не превосходит �3��+1−�. Ранее аналогичный результат был получен А. Гусаковой [16] лишь для случая � = 3 2 .
Ключевые слова
В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю �. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов �, обратных простым числам “короткого” промежутка: �� ≡ 1 (mod �), 1 < � 6 �, � 6 �1−�, � > 0, и, более общо, о распределении по модулю � величин �(�) = ��+��, где �, � – целые числа, (��, �) = 1. Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произ- вольного заданного вычета � (mod �) суммою �(�1) + . . . + �(��) при фиксированных �, � и � > 3, и простых 1 < �1, . . . , �� 6 �. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом “сингулярного ряда” классического кругового метода, т.е. некоторой величиной �, зависящей от � и набора �, �, �,�. При фиксированных �, �, �,� она является мультипли- кативной функцией �. В случае, когда модуль � не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптоти- ческой. В настоящей работе исследуется поведение � в случае, когда � = 3�. Оказывается, что при любых � > 1, � > 3 существуют “исключительные” тройки �, �,�, для которых � = 0. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины � для “неисключительных” троек.
Ключевые слова
В теоретико-числовом методе приближенного анализа важную роль играют гиперболи- ческие дзета-функции решёток. Каждая такая гиперболическая дзета-функция решётки является рядом Дирихле по усеченному норменному спектру решётки. Поэтому возни- кает задача об аналитическом продолжении этого класса рядов Дирихле. Как показали Н. М. Добровольский и его соавторы для любой декартовой решётки такое аналитиче- ское продолжение на всю комплексную плоскость за исключением точки � = 1, в которой полюс порядка �, существует. Вопрос о существовании аналитического продолжения для произвольных решёток остается открытым. Поэтому, естественно, рассмотреть множество всевозможных рядов Дирихле, порож- денных заданной решёткой, и изучить свойства этого функционального пространства над полем комплексных чисел. Алгебраические решётки и соответствующие алгебраические сетки вошли в науку в 1976 году в работах К. К. Фролова. Каждая такая решётка является решёткой, повторяю- щейся умножением, а её норменный спектр будет моноидом натуральных чисел. Поэтому можно рассмотреть алгебру рядов Дирихле, соответствующих этому моноиду натураль- ных чисел. Такая постановка является новой и ранее не встречалась в литературе. Принципиальный вопрос, который связан с такой постановкой, заключается в следую- щем: Какими аналитическими свойствами обладают ряды Дирихле из соответствую- щего пространства и соответствующей алгебры?
Ключевые слова
В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона–Никольского) для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве �� �(T) при � > 1 с пери- одическим весом Гегенбауэра |sin �|2�+1: ��,�(�) = sup �∈��∖{0} ‖�‖∞ ‖�‖� , где ‖ · ‖� = ‖ · ‖�� �(T). Д. Джексон (1933) доказал, что ��,−1/2(�) 6 ���1/� для всех � > 1. Задача нахождения ��,−1/2(�) имеет долгую историю. Однако точные значения известны только при � = 2. При � = 1 задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметим результаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Си- монова, П. Ю. Глазыриной. Для � > 0 отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Ива- нова, Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае — В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват. Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четном тригоно- метрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие, установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом (1 − �2)�, исследованная В. В. Аресто- вым и М. В. Дейкаловой (2015). Доказательство следует их методу и базируется на поло- жительном операторе обобщенного сдвига в пространстве �� �(T) с периодическим весом Гегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д. В. Чертовой (2009). Как приложе- ние, предлагается подход к вычислению ��,�(�) на основе соотношений двойственности Арестова–Дейкаловой.
Ключевые слова
Ганкелевы матрицы, рассматриваемые в статье, возникли при одной переформулировке гипотезы Римана, предложенной ранее автором. Компьютерные вычисления показали, что в случае дзета-функции Римана собственные числа и собственные вектора таких матриц обладают интересной структурой. В статье изучается модельная ситуация, когда вместо дзета-фунции взята функция, имеющая единственный нуль. Для этого случая указаны первые члены асимптотических разложений наименьшего и наибольших (по абсолютной величине) собственных чисел и соответствующих им собственных векторов.
Ключевые слова
Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элемен- тов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в класси- ческих работах Н. Абеля и П. Л. Чебышева. В 2014 году В. П. Платоновым был предложен общий концептуальный метод, базирующийся на глубокой связи трех классических про- блем: проблема существования и построения фундаментальных �-единиц в гиперэллип- тических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследо- вании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В. П. Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля Q(�)( √ �) такие, что √ � разлагается в периодическую непрерывную дробь в Q((�)), а также бы- ли получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода 2 и выше. В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей �(�)( √ �) над произвольным числовым полем � с периодическим разложением √ �, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит �-точку четного порядка не превосходящего 18 или �-точку нечетного порядка не превосходящего 11. Для произвольного поля � являющегося квадратичным расшире- нием Q найдены все такие эллиптические поля, а для поля � = Q было получено новое доказательство конечности числа периодических √ �, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.
Ключевые слова
В статье дано доказательство полноты перечня одного класса выпуклых симметрич- ных многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Этот класс принадлежит классу так называемых ��-многогранников. ��-многогранники характеризуются следу- ющими условиями симметрии: у каждого многогранника класса �� существуют симмет- ричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём каждая грань, не входящая в звезду ромбической вершины, является правильной. Ромбичность вершины здесь означает, что звезда вершины составлена из � равных, одинаково расположенных ромбов. Симметричность вершины означает, что через неё проходит ось вращения порядка � её звезды. Ранее автором были найдены все мно- гогранники с ромбическими или дельтоидными вершинами и локально симметричными гранями. При этом локально симметричные грани не принадлежат ни одной из ромби- ческих или дельтоидных звёзд. Класс ��-многогранников получается из рассмотренных ранее заменой условия локальной симметрии неромбических граней условием их правиль- ности. Таким образом, рассматриваемый класс �� связан с известным результатом Н. Джон- сона и В. Залгаллера о перечислении всех выпуклых многогранников с условием правиль- ности граней. Но, как показано в настоящей статье, ��-многогранники не могут быть про- сто получены из класса правильногранных, а требуют специального метода. Настоящая статья посвящена доказательству полноты класса ��-многогранников с двумя изолиро- ванными симметричными ромбическими вершинами � , �. При этом ромбы сходятся в вершинах � , � не обязательно своими острыми углами и � , � не обязательно разделены только одним поясом правильных граней.
Ключевые слова
В статье рассматривается краевая задача для системы линейных обыкновенных диф- ференциальных уравнений второго порядка, построенная для определения поля смеще- ний в непрерывно-неоднородном упругом покрытии пластины при прохождении через неё плоской звуковой волны. Полагается, что однородная изотропная упругая пластина с неоднородным по толщине упругим покрытием граничит с идеальными жидкостями. Методом степенных рядов получено приближенное аналитическое решение краевой за- дачи. Краевая задача сведена к задачам с начальными условиями. Решение краевой за- дачи представлено в виде линейной комбинации фундаментальных решений. Найденное аналитическое решение краевой задачи справедливо для широкого класса законов неод- нородности материала покрытия. Проведены численные расчеты зависимостей компонентов вектора смещения на грани- цах покрытия от угла падения плоской волны.
Ключевые слова
Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является про- блема существования и поиска фундаментальных �-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и поиска �-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения — функционального уравнения Пелля — с некото- рыми дополнительными условиями на вид этого уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными �-единицами соответствующего гиперэл- липтического поля. Эта связь легла в основу предложенного В. П. Платоновым алгебра- ического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода � > 2. В данной статье нами найден новый метод исследования разрешимости функциональ- ных норменных уравнений, дающий полное описание гиперэллиптических кривых над по- лем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают точками кручения данных порядков. Наш метод основан на аналитическом изучении представителей дивизо- ров конечного порядка в группе классов дивизоров степени ноль и их представлений Мам- форда. В качестве иллюстрации работы нашего метода в данной статье непосредственно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают рациональными точками кручения порядков не превосходящих пяти. Более того, наш метод позволяет определить, какому найденному параметрическому семейству принадлежит данная кривая, якобиан которой обладает точкой кручения порядка, не превосходящего пяти.
Ключевые слова
рему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградо- ва являются оценки дзетовых сумм вида Σ︁ �≤� ���. Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида Σ︁ �≤�1 · · · Σ︁ �≤�� (�1 . . . �� + �)��, Σ︁ �≤� ��(�)(� + �)��, Σ︁ �≤� (� + �)��.
Ключевые слова
Впервые в статье [1] были установлены нетривиальные нижние оценки на размер мно- жества произведений рациональных чисел, числители и знаменатели которых ограничены некоторой величиной �. Грубо говоря, было показано, что размер произведения отклоняет- ся от максимального не меньше чем в exp {︁ (9+�(1))√ log� log log� }︁ раз. В статье [7] показатель у log log� был улучшен со значения 1/2 до значения 1 и доказательство основного результа- та о множестве произведений дробей было принципиально другим. Это доказательство, его аргумент был основыван на поиске специального большого подмножества исходного мно- жества рациональных чисел, у множество числителей и знаменателей которых являлись попарно взаимно простыми числами. Главным инструментом было рассмотрение случай- ных подмножеств. Была получена нижняя оценка математического ожидания величины размера этого случайного подмножества. Там же удалось получить верхнюю оценку на мультипликативную энергию рассматриваемого множетсва. Нижние оценка на число про- изведений и верхняя оценка на мультипликативную энергию множества являются близ- кими к оптимальным результатам. В данной статье мы предлагаем следующую схему. Мы в общем и целом следуем схеме доказательства статьи [1], при этом модифицируем некоторые шаги и привнося некоторые дополнительные оптимизации и тоже улучшаем показатель со значения 1/2 до значения 1 − � для произвольного положительного � > 0 .
Ключевые слова
В статье доказана асимптотическая формула для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью. Пусть � > 1 — иррациональ- ное число и � — вещественное число из промежутка [0; �), � и � — целые числа, � > 2, 0 6 � < �, � — достаточно большое натуральное число. Обозначим через ��(�) число значений последовательности Битти [��+�], 1 6 � 6 �, принадлежащих арифметической прогрессии (� + ��), � ∈ N. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа � ограничены, то при � → ∞ справедлива асимптотическая формула ��(�) = � � +�(� ln3 �), где постоянная в знаке � абсолютная. Разность прогрессии может расти вместе с �, причём результат нетривиален, если � ≪ √ � ln−3/2−� �, � > 0.
Ключевые слова
В данной работе мы строим систему образующих Гензеля — Шафаревича для фор- мальных модулей Хонды над многомерным полем. В дальнейшем это даст возможность вычисления символа Гильберта в описанной ситуации.
Ключевые слова
В статье приводится решение задачи нахождения общего вида среднего в случае от- сутствия симметричности по всем переменным. В 1930 году А. Н. Колмогоров дал общий вид среднего значения. Он сформулировал четыре аксиомы среднего: непрерывность и монотонность по каждой переменной, симметричность по каждой переменной, равенство среднего от одинаковых значений этому значению и возможность замены некоторой груп- пы значений их собственным средним без изменения общего среднего. Все переменные в теореме Колмогорова равноправны, это предполагает, что среднее является сииммет- рической функцией по всем переменным. В. Н. Чубариковым была поставлена задача обобщения результата А. Н. Колмогорова на случай отсутствия симметричности по всем аргументам. Теперь переменные разбиваются на группы, и среднее будет симметрично от- дельно по каждой из групп переменных. Если такая группа единственна, то исследуемое среднего удовлетворяет аксиомам А. Н. Колмогорова, поэтому результат статьи является обощением теоремы Колмогорова. В статье найден общий вид функции среднего в этой задаче, отмечена связь с равномерным распределением по модулю единица.
Ключевые слова
В статье даётся явный метод построения морсификаций с минимально топологически возможным числом вещественных критических точек для функций двух переменных с гладкими ветвями множества уровня, а также для полуквазиоднородных функций двух переменных.
Ключевые слова
Теория диофантовых приближений, как раздел математики, начала активно формиро- ваться в XIX веке. Значительный вклад в ее развитие внесли русские и советские мате- матики. В данной работе мы дадим исторический обзор некоторых результатов в области диофантовых приближений, полученных русской и советской научной школой теории чи- сел. Одним из первых, задачами теории диофантовых приближений заинтересовался во вто- рой половине XIX века П. Л. Чебышев. Эти исследования были продолжены его учениками А. Н. Коркиным и Е. Н. Золотарёвым. А в 1880 году, ученик А. Н. Коркина, академик А. А. Марков-старший в своей магистерской диссертации блестяще решил задачу опи- сания классов плохоприближаемых неопределенных квадратичных форм. Другой ученик П. Л. Чебышева — Г. Ф. Вороной, наряду с Г. Минковским, заложил основы нового, тесно связанного с диофантовыми приближениями раздела математики — геометрии чисел. В развитие метрической теории цепных дробей внес значительный вклад А. Я. Хинчин. В 1936 году им была получена постоянная Хинчина — значение среднего геометрического элементов разложения в цепную дробь, для почти всех вещественных чисел. Поразитель- ность этого факта отмечается математиками всего мира. Значительный вклад в развитие метрической теории диофантовых приближений при- надлежит белорусским математикам. В 1964 году В. Г. Спринджук получил доказатель- ство гипотезы о мере множества �-чисел. Исследования в этой области были продолжены В. И. Берником. Интересных результатов в области геометрии чисел и свойств приближения алгебра- ических чисел были получены во 70–80-ых годах XX века Б. Ф. Скубенко. В частности, в его работах представлена оценка константы наилучших диофантовых приближений для двумерного случая. Исследования в области приближения действительных чисел и теории цепных дробей были продолжены в 1990–2010-ых годах Н. Г. Мощевитиным, О. Н. Герма- ном, А. Д. Брюно, Н. М. Добровольским и Н. Н. Добровольским.
Ключевые слова
11 января 2020 года исполняется сто лет со дня рождения Василия Ильича Нечаева — известного советского математика, доктора физико-математических наук, профессора, ведущего научного сотрудника Математического института имени В. А. Стеклова Акаде- мии наук СССР (РАН), заведующего кафедрой теории чисел Московского педагогического государственного университета (МПГУ) с 1978 по 1999 годы. Василий Ильич Нечаев внес значительный вклад в развитие отечественной научной школы по теории чисел. Наиболее известны исследования профессора В. И. Нечаева и его учеников в области аналитической теории чисел и ее приложений. Неоценимы заслуги Василия Ильича Нечаева и в развитии высшего образования Рос- сии. В. И. Нечаев много лет руководил научным семинаром по аналитической теории чисел в МПГУ, создал собственную научную школу. Многие его ученики стали кандида- тами и докторами физико-математических или педагогических наук, активно работают в системе отечественного высшего образования, занимают высокие административные по- сты, проводят научные исследования по дидактике высшей школы в областях, связанных с преподаванием избранных вопросов теории чисел и ее приложений, воспитывают своих учеников. Василий Ильич опубликовал большое количество научных и методических работ, пере- вел на русский язык несколько фундаментальных научных монографий. Он долгие годы являлся членом редколлегии журнала ”Математические заметки“, был членом программ- ных комитетов многих международных конференций по алгебре и теории чисел.