Статья посвящена доктору физико-математических наук, академику Академии наук Республики Таджикистан, выдающемуся специалисту в области теории чисел Зарулло Ху- сеновичу Рахмонову в связи с его 60–летием. Приводится краткая биография, основные этапы его научной карьеры. Дан обзор результатов З. Х. Рахмонова по следующим пробле- мам теории чисел: о распределении чисел Гольдбаха и чисел Харди-Литтлвуда в коротких арифметических прогрессиях, по проблеме средних значений функции Чебышева и про- блеме нулей дзета-функции Римана, лежащих в коротких прямоугольниках критической полосы, по оценкам коротких тригонометрических сумм с простыми числами и пробле- ме Гольдбаха с почти равными слагаемыми, по проблеме Сельберга, касающейся нулей дзета-функции Римана, лежащих на коротких промежутках критической прямой. В заключение представлен список основных научных публикаций З. Х. Рахмонова
Чебышевский сборник
2019. — Выпуск 4(72)
Содержание:
Пуст � достаточно большое вещественное число и � ≥ 2 натуральное число, � мно- жества натуральных чисел не превосходящие �, которые непредставимы в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа, ��(�) = card�. В настоящей работе доказана теорема Теорема. Для достаточно больших � справедлива оценка ��(�) ≪ ��, где � < ⎧⎪⎨ ⎪⎩ 1 − (17612, 983�2(ln � + 6, 5452))−1, при 2 ≤ � ≤ 205, 1 − (68�3(2 ln � + ln ln � + 2, 8))−1, при � > 205, 1 − (137�3 ln �)−1, при � > �628. В частности из этой теоремы следует, что оценка и � < 1 − (137�3 ln �)−1, полученная В. А. Плаксиным для достаточно больших �, остается справедливой при ln � > 628.
Ключевые слова
В статье продолжены исследования по теории кратных тригонометрических сумм, в основе которой лежит метод И.М.Виноградова. Здесь мы находим для � = � = 2 оценки снизу показателей сходимости особого ряда и особого интеграла асимптотической форму- лы при � → ∞ для числа решений следующей системы диофантовых уравнений Σ︁2� �=1 (−1)���1 1,� . . . ��� �,� = 0, 0 ≤ �1, . . . , �� ≤ �, где � ≥ 2, � ≥ 1, � — натуральные числа, причём каждая переменная ��,� может принимать все целые значения от 1 до � ≥ 1.
Ключевые слова
Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции arctg �. Для получения оценок показателя иррациональности значений arctg � многими авто- рами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г. [1], доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида �1 2 (︀ 1, 1 � , 1 + 1 � |��� )︀ , � ∈ N, � ≥ 2, � = ±1. Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ва- ананена [2], [3] в которых также был построен метод, позволявший получать оценки по- казателя иррациональности для значений �1 2 (︀ 1, 1 � , 1 + 1 � |� )︀ , � ∈ N, � ≥ 2, в том числе для �1 2 (︀ 1, 1 2 , 3 2 | − �2 )︀ = 1 � arctg �. Рассмотренный ими подход использовал приближение гипер- геометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов. В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены пара- метров [4],[5],[6]. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметрич- ности, был применён в работе В.Х.Салихова [4] и позволил получить новую оценку пока- зателя иррациональности для ln 3. Чуть позже В. Х. Салихов [7], применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррационально- сти числа �. В этой работе было использовано классическое равенство � 4 = arctg 1 2+arctg 1 3 . Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в ра- боте Е. Б. Томашевской [8] были оценены значения вида arctg 1 �, � ∈ N, � > 2, и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской [9] был разработан аналогичный интеграл для оценки arctg 1 2 , который позволил доказать результат �(arctg 1 2 ) ≤ 11.7116..., остававшийся лучшим до настоящего времени. В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг [10] немного улучшили результат В. Х. Салихова для ln 3, рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Тома- шевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа arctg 1 2 .
Ключевые слова
Работа посвящена обзору некоторых задач символическиой динамики. Дается описание равномерно рекуррентных слов связанных с перекладыванием отрезков. Ответ получен в терминах эволюции размеченных графов Рози слова �. �-граф Рози слова � – это ориентированный граф, вершины которого взаимнооднозначно соответству- ют подсловам длины � слова �, из вершины � в вершину � ведет стрелка, если в � есть подслово длины � + 1, у которого первые � символов – подслово соответствующее �, по- следние � символов – подслово, соответствующее �. Последователем ориентированного �-графа � называется ориентированный граф Fol(�) построенный следующим образом: вершины графа � биективно соответствуют ребрам графа �, из вершины � в вершину � ведет стрелка, если в графе � конечная вершина ребра � является начальной вершиной ребра �. (� + 1)-граф является подграфом последователя �-графа и получается из него удалением некоторых ребер. Вешины, из которых выходит (или в которые входят) более одного ребра, соответсвуют специальным подсловам (см. гл.2), вершины, в которые входят и выходят более одного ребра, соответствуют биспециальным подсловам. Последователь- ность �-графов Рози составляет эволюцию графов Рози слова �. Граф Рози называется размеченным, если его ребра помечены буквами � и �, а некоторые вершины (возможно, ни одна) помечены символом “−′′. Последователем размеченного графа Рози назовем ориентированный граф, являющий- ся его последователем как графа Рози, разметка ребер которого определяется по правилу: 1. Ребра, входящие в развилку должны быть помечены теми же символами, как и ребра, входящие в любого левого потомка этой вершины; 2. Ребра, выходящие из развилки должны быть помечены теми же символами, как и ребра, выходящие из любого правого потомка этой вершины; 3. Если вершина помечена знаком “–”, то все ее правые потомки также должны быть помечены знаком “–”. В терминах размеченных графов Рози определяется асимптотически правильная эво- люция графов Рози, то есть определяются правила перехода от �-графов к (�+1)-графам. Именно, эволюция называется правильной, если для всех � ≥ 1 выполняются следующие условия при переходе от �-графа �� к (� + 1)-графу ��+1 : 1. Валентность любой вершины не более 2,то есть в нее входит и выходит не более 2-х ребер.2. Если в графе нет вершин, соответсвующих биспециальным подсловам, то ��+1 сов- падает с последователем �(��); 3. Если вершина, соответствующая биспециальному слову не помечена знаком “–”, то ребра, соответствующие запрещенным словам выбираются из пар �� и �� 4. Если вершина помечена знаком “–”, то удаляемые ребра должны выбираться из пары �� или ��. Эволюция называется асимптотически правильной, если это условие выполняется для всех � начиная с какого-то � = �. Ориентированная эволюция графов подразумевает отсутствие вершин, помеченных знаком “–”. Основная теорема данной работы заключается в описании сверхслов, связанных с перекладыванием отрезков: Теорема. Равномерно-рекуррентное слово � 1. Порождается перекладыванием отрезков, тогда и только тогда, когда слово обеспе- чивается асимптотически правильной эволюцией размеченных графов Рози. 2. Порождается перекладыванием отрезков с сохранением ориентации тогда и только тогда, когда слово обеспечивается асимптотически правильной ориентированной эво- люцией размеченных графов Рози.
Ключевые слова
Пусть Ω – произвольное открытое множество в �-мерном евклидовом пространстве �� и пусть Π(0) – единичный куб с центром в начале системы координат. Для любой точки � = (�1, �2, . . . , ��) ∈ �� и любого вектора −→� = (�1, �2, . . . , ��) с положительными компонентами определим параллелепипед Π−→� (�) равенством Π−→� (�) = {� ∈ �� : ((�1 − �1) /�1, (�2 − �2) /�2, . . . , (�� − ��) /��) ∈ Π(0)} . Пусть ��(�) (� = 1, �) – определенные в Ω положительные функции. Положим Π�,−→� (�) = Π�−→� (�)(�), где � > 0 и −→� (�) = (�1(�), �2(�), . . . , ��(�)). Предполагается, что множество Ω и функции ��(�), � = 1, �, связаны следующим усло- вием: (A) Существует постоянная �0 > 0 такая, что для всех � ∈ Ω и всех � ∈ (0, �0) параллелепипед Π�,−→� (�) содержится в Ω. Условие (А) является аналогом условия погру- жения, введенного П. И. Лизоркиным в 1980 году. В работе исследуется разделимость дифференциального выражения �(�,��) = Σ︁ |�|≤2� ��(�)��� (� ∈ Ω), (*) где � – некоторое натуральное число, � = (�1, �2, . . . , ��) – мультииндекс, |�| = �1+�2+. . .+ +�� – длина мультииндекса �, в лебеговом пространстве ��(Ω), 1 < � < +∞. Множество всех мультииндексов �, для которых ��(�) ̸≡ 0, обозначим через K . Пусть �K – множество функций �(�) ∈ �1, ���(Ω), имеющих обобщенные производные в смысле С.Л. Соболева ��� �(�) для всех � ∈ K . Дифференциальное выражение (*) называется ��-разделимым, если для всех функций �(�) ∈ �K таких, что �(�) ∈ ��(Ω), �(�, ��)�(�) ∈ ��(Ω) имеет место включение ��(�)��� �(�) ∈ ��(Ω) для всех мультииндексов � ∈ K . Работа состоит из пяти разделов. В первом разделе приведена формулировка основных результатов, во втором разделе строится правый регуляризатор для исследуемого классадифференциальных выражений, а в разделах 3-5 приведены доказательства основных теорем работы.
Ключевые слова
В статье рассматриваются линейные обыкновенные дифференциальное уравнения вто- рого порядка с переменными коэффициентами (исходные уравнения). Наряду с каждым исходным уравнением рассматривается точно такое же уравнение только с постоянны- ми коэффициентами (сопутствующее уравнение). Показано, что общее решение исходного уравнения представляется в интегральной форме через общее решение сопутствующего уравнения и фундаментальное решение исходного уравнения. Фундаментальное решение находится методом возмущений в виде бесконечного ряда. Исследована сходимость ряда. В качестве конкретного примера применения разработанной методики рассматривается уравнение Чебышева.
Ключевые слова
В работе рассматривается структура данных - множество состояний процессов Linux, которая используется в задаче восстановления дерева процессов в Unix-подобных опера- ционных системах. Целью исследования является анализ зависимостей в такой структуре, введение естественного порядка по зависимостям, предложение и обоснование возможно- сти его введения как верхней полной полурешётки. Следующие из технических свойств прикладной задачи иерархии атрибутов позводяют ввести дополнительные ограничения на минимальные верхние границы в полурешётке. Ограничения формально описываются в виде подходящих операторов предзамыкания и замыкания. Из ограничений следует необ- ходимое условие корректности дерева процессов. На основании свойств точек, возвращае- мых введёнными операторами и схемы выполнения системного вызова, приводится доста- точное условие корректности: для каждого атрибута, возникающего в контексте процесса, должно существовать решёточно упорядоченное относительно наследуемого порядка мно- жество, содержащее промежуточные состояния процессов, через которые и разрешаются зависимости. Введённые условия формируют критерий корректности дерева процессов, что может быть полезно в таких задачах как генерация тестов для систем сохранения и восстановления состояний Unix-подобных ОС, поиск аномалий, повышение портабельно- сти и надёжности программных комплексов. Приводятся также схемы зависимостей меж- ду атрибутами, которые вводят частные ограничения на реконструирующее множество. Рассматриваются открытые вопросы и предлагаются дальнейшие шаги.
Ключевые слова
Для любого иррационального � можно рассмотреть разбиения отрезка [0; 1] точками вида {��} с 0 ≤ � < �. Данные разбиения обладают целым рядом интересных свойств, наиболее известными из которых являются теоремы о трех длинах и о трех прыжках. В частности, эти разбиения содержат отрезки либо двух, либо трех различных длин. В случае двух длин соответствующие разбиения известны как обобщенные разбиения Фи- боначчи. Они тесно связаны с комбинаторикой слов, одномерными квазипериодическими разбиениями, множествами ограниченного остатка, отображениями первого возвращения для иррациональных поворотов окружности и т. д. Перенос общих теорем о трех длинах и о трех прыжках на двумерный случай, то есть на точки вида ({��1}, {��2}) является известной открытой проблемой. В настоящей ра- боте рассматривается некоторый частный случай этой задачи связанный с двумерными обобщениями разбиений Фибоначчи. Эти разбиения получаются при помощи итераций геометрической версии знаменитой подстановки Рози. Они возникают в комбинаторике слов при изучении обобщений последовательностей Штурма, а также в теории чисел при изучении сдвигов тора. Рассматриваемые разбиения состоят из ромбов трех различных типов. Доказано, что во всех разбиениях существует ровно 9 типов наборов ромбов, сосед- них с заданным ромбом. Также дан способ позволяющий по ромбу разбиения однозначно установить его соседей. Полученные результаты можно рассматривать как первый шаг к многомерному обобщению теорем о трех длинах и трех прыжках.
Ключевые слова
Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметиче- ской природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых ко- эффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использова- ние известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомяну- того исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построе- ние является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодо- лимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании сов- местных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффи- циентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины. Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточне- ние осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнитель- но используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения сов- местных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных. Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти прибли- жения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.
Ключевые слова
Работа посвящена установлению коэрцитивных оценок и доказательств теорем разде- лимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка. На основе полу- ченных коэрцитивных оценок исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейных диф- ференциальных уравнений второго порядка в пространстве �2,�(��). Проблемой разде- лимости дифференциальных операторов впервые занимались математики В.Н.Эверитт и М.Гирц. Они подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степе- ней. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Существуют лишь отдельные работы, в которых рассматриваются нелиней- ные дифференциальные операторы, представляющие собой слабые нелинейные возмуще- ния линейных операторов. Случай, когда исследуемый оператор строго нелинейный, т.е. его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные здесь результаты также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного диф- ференциального оператора второго порядка �[�] = − Σ︁� �,�=1 ���(�) �2� ������ + Σ︁� �=1 ��(�) �� ��� + � (�, �)�(�), в весовом гильбертовом пространстве �2,�(��) и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Рассматриваемый оператор не является слабым воз- мущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости исследуется разрешимость нелинейного дифферен- циального уравнения в пространстве �2,�(��).
Ключевые слова
В статье исследуется полная полезность экономической деятельности на конечном от- резке времени в случае, когда функция полезности допускает с высокой точностью при- ближение линейной функцией. Приводится оценка наилучшего приближения функции по- лезности на отрезке с заданным отношением концов линейной функцией.
Ключевые слова
Исследуется полная полезность экономической деятельности в некоторой модели, когда вложение в производство экономического ресурса задано в виде экспоненты, а функция полезности — логарифм. Доказывается существование и единственность оптимального по- казателя экспоненты и находится интервал в котором содержится оптимальный показа- тель.
Ключевые слова
За последние десятилетия значительное развитие получила теория функционально- дифференциалных включений, прежде всего, функционально-дифференциальное включе- ние запаздывающего типа. Ученые разных стран ведут исследования в области тео- рии начально-краевых задач для различных классов дифференциальных, интегро-диф- ференциальных и функционально-дифференциальных включений в частных производ- ных с целым и дробным порядками производных. Настоящая работа посвящена дроб- ным функционально-диференциальным и интегродифференциальным включениям типа Хейла занимающие промежуточное место между функционально-дифференциальными включениями с запаздыванием и включениями нейтрального типа. Установлены доста- точные условия существования слабых решений включений типа Хейла с дробным по- рядком производной. Методы дробного интегро-дифференциального исчисления и теории непод-вижных точек многозначных отображений лежат в основе настоящего исследова- ния. Известно, что динамика экономических, социальных и экологических макросистем представляет собой многозначный динамический процесс и дифференциальные и интегро- дифференциальные включения дробного порядка являются естественными моделями ди- намики макросистем. Такие включения используются также для описания некоторых фи- зических и механических систем с гистерезисом. В конце работы приводится пример ил- люстрирующий абстрактные результаты.
Ключевые слова
В настоящее время одним из широко применяемых подходов при нахождении оце- нок показателя иррациональности является использование симметризованных интегралов. Они рассматривались и ранее (см., например, [1]), но наиболее динамичное развитие это направление приобрело в работах В. Х. Салихова и его учеников (см., например, [2]–[5]). Отправной точкой стала статья В. Х. Салихова [6], в которой была усилена оценка меры иррациональности числа ln 3: �(ln 3) ≤ 5.125. В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг в [7] улучшили результат В. Х. Салихова, получив оценку �(ln 3) ≤ 5.1163051. В их работе применялись симметризованные многочлены первой степени. С помощью интегральной конструкции, основанной на симетризованных многочленах первой и второй степени, И. В. Бондарева, М. Ю. Лучин и В. Х. Салихов в [8], уточнили предыдущий результат К. Ву и Л. Ванга: �(ln 3) ≤ 5.116201. Впервые квадратичные симметризованные многочлены были использованы в работе И. В. Бондаревой, М. Ю. Лучина и В. Х. Салихова [9]. Используя подобные многочлены, но рассматривая комплексный интеграл (модифицированный интеграл Е.Б.Томашевской) В. Х. Салихов и Е. С. Золотухина в [10] незначительно усилили оценку меры иррациональ- ности числа ln 5 3 : �(ln 5 3 ) ≤ 5.119417 . . .. Предыдущие результаты принадлежали Е. Б. То- машевской [11], Е. С. Золотухиной [12], К. Ваананену, А. Хеймонену и Т. Матала-ахо [13]. Цель данной работы – получить новые оценки совместных приближений чисел 1, ln 2, ln 3, ln 5 и чисел 1, ln 2, ln 3, ln 5, ln 7, основываясь на интегральной конструкции, содер- жащей многочлены первой и второй степени.
Ключевые слова
Настоящая статья является непосредственным продолжением статьи [18]. В начале ста- тьи мы излагаем те известные результаты общей теории субгармонических функций, ко- торые используются в дальнейшем. В определении полуформального порядка требуется существование чисел � > 0, � ∈ (0, 1) и вещественного числа � таких, чтобы произвольная область �(�, �, �) содер- жала точку �, такую, что �(�) > �� (|�|). Это условие мы называем условием Левина. Мы ослабляем это условие и требуем только, чтобы нужная точка � содержалась не в произвольной области �(�, �, �), а только при � = ��, где �� — некоторая последо- вательность, сходящаяся к бесконечности. Функции, удовлетворяющие этому ослаблен- ному условию, мы называем функциями, локально удовлетворяющими условию Левина. Наш результат, относящийся к этому классу функций состоит в том что на множестве � = {︂ � : arg � ∈ (0, �), |�| ∈ ∞⋃︀ �=1 [︂ ���,��/� ]︂}︂ функция �(�) ведет себя как функция по- луформального порядка �(�). Отметим ещё утверждения 1 и 3 теоремы 2, связанные с оценками полной меры множеств, которые не являются подмножествами множества �. Основным результатом является теорема 7. В утверждении 3 этой теоремы фиксируется новое свойство субгармонических функций конечного порядка, которое наряду со свой- ством, формулируемым в теореме 3, можно рассматривать как одно из важнейших свойств, выделяющих субгармонические функции в классе всех функций. Если риссовские меры субгармонической функции �(�), расположенные внутри некоторого угла � величины 2Δ, сместить на границу этого угла и обозначить через �Δ(�) субгармоническую функцию со смещённой риссовской мерой, то полученную функцию можно рассматривать как некото- рое приближение для функции �(�). Это приближение является гармонической функцией внутри �. Мы получаем интегральную оценку модуля разности |�(�) − �Δ(�)|, которая качественно лучше, чем оценка соответствующего интеграла для |�(�)|. Специально ис- следуется случай, когда нижний индикатор функции � конечен на биссектрисе угла �.
Ключевые слова
В работе рассматриваются вопросы, связанные с группой единиц кватернионного по- рядка �� , соответствующего неопределенной анизотропной тернарной квадратичной фор- ме � = �(�1, �2, �3) = �21 − � �22 − � �23 , где �, � > 0 — целые числа, причем число � не является нормой из квадратичного расширения Q (︁√ � )︁ . Относительно указанной группы единиц нами доказано,что она содержит бесконеч- ную некоммутативную 2-порожденную подгруппу, описываемую с помощью группы еди- ниц Пелля. Первые исследования, относящие к группе единиц алгебры с делением были проведены в 1937 г. М. Эйхлером, установившим их конечную порожденность. Определен- ный интерес в связи с нашей работой представляют результаты, полученные Basilla J. M. и Bada H. в 2005 г. для уравнений вида �2 − � �2 = ±�, которые могут быть применены в дальнейшем исследовании группы единиц. Другой полученный нами результат относится к вопросу о числе попарно неассоции- рованных обобщенных кватернионов заданной нормы � из �� . Этот вопрос тесно связан с единицами порядка �� и с группами единиц Пелля. Следует отметить, что в алгебрах матриц при изучении их арифметики получены про- стые точные формулы для числа примитивных неассоциированных справа (слева) целых матриц заданного определителя, которые имеют применения в так называемом дискрет- ном эргодическом методе Ю. В. Линника при решении вопросов представимости целых чисел неопределенными изотропными тернарными квадратичными формами. Ряд резуль- татов, относящихся к этому вопросу были получены первым из авторов. Что же касается вопроса о числе неассоциированных обобщенных кватернионов задан- ной нормы � порядка �� , то насколько нам известно результатов описанных видов до сих пор не встречалось и видимо это связано с тем, что рассматриваемый нами порядок кватернионов, наверное, имеет довольно сложное строение. В настоящей работе вместо точных формул удалось получить только верхнюю и ниж- нюю оценки для числа попарно неассоциированных кватернионов нормы � из порядка �� .
Ключевые слова
Работа посвящена получению нетривиальных оценок коротких кубических тригономет- рических сумм с функцией Мёбиуса вида �3(�; �, �) = Σ︁ �−� � 4 5L8�+944 и � = �5�−2L−32(�+18).
Ключевые слова
Дэвенпорт и Хейльбронн ввели функцию �(�) и показали, что �(�) удовлетворяет функ- циональному уравнению римановского типа, однако для �(�) гипотеза Римана не выпол- няется, и более того, число нулей �(�) в области �� � > 1, 0 < ��� ≤ � превосходит �� , � > 0 — абсолютная постоянная. С.М. Воронин доказал, что тем не менее, крити- ческая прямая ��� = 1 2 является исключительным множеством для нулей �(�), то есть для �0(�) — числа нулей �(�) на отрезке ��� = 1/2, 0 < ��� 6 � имеет место оцен- ка �0(�) > �� exp (︁ 0, 05 √ ln ln ln ln � )︁ , где � > 0 — абсолютная постоянная, � > �0 > 0. А.А.Карацуба исследуя количество нулей функции �(�) в коротких промежутках крити- ческой прямой доказал: если � и �1 – произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие 0.001; � ≥ �0(�, �1) > 0 и � = � 27 82+�1 , то выполняется соотноше- ние �0(� + �) − �0(�) > �(ln �) 1 2−�. В работе доказано, что для количества нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна �(�) в коротких промежутках вида [�, � +�] критической прямой последнее соотношение спра- ведливо при � > � 131 416+�1 . Этот результат в частности является приложением новых рав- номерных по параметрам оценок специальных тригонометрических сумм ��(�), � = 0, 1, 2 в терминах экспоненциальных пар, в котором задача о нетривиальности оценки этих сумм относительно параметра � сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар.
Ключевые слова
В данной работе уточнена оценка меры иррациональности числа ln 5 3 . К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций, в частности, логарифмов рациональных чисел. Диофантовы приближения логарифмов рациональных чисел рассматривались в ра- ботах К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-Ахо [1], Д. Рина [2], Е. А. Рухадзе [3], М. Хата [4]-[6] и др. В трудах этих авторов использовались интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от рассматриваемых чисел, имеющие "хорошие"оценки знаменателей коэффициентов. Асимптотика интегралов и коэффициентов линейных форм вычислялась с помощью теоремы Лапласа, метода перевала. Обзор некоторых конструк- ций из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел был представ- лен в статье В. В. Зудилина [7]. Отметим, что в 2009 г. Р. Марковеккио в [8] с помощью двукратного комплексного интеграла получил лучшую на данный момент оценку меры иррациональности числа ln 2. В последнее время широко применяются симметрии функций, участвующих в инте- гральных конструкциях. Использование симметризованных интегралов позволило Е. С. Золотухиной в [9] и Е. Б. Томашевской в [10] получить новые оценки показателей иррациональности некоторых логарифмов рациональных чисел. Впервые подобный интеграл был рассмотрен В. Х. Са- лиховым при получении оценки меры иррациональности числа ln 3 в [11], а затем числа � в [12]. В 2014 г. в [13] К. Ву и Л. Ванг получили оценку меры иррациональности числа ln 3, улучшающую результат В. Х. Салихова. В их работе впервые были применены общие симметризованные многочлены первой степени вида �� − �, где � = (� − �)2. В 2017 г. В. Х. Салихов, М. Ю. Лучин и И. В. Бондарева в [14] улучшили результат К. Ву (см. [15]) о мере иррациональности ln 7. Здесь впервые были рассмотрены квадратичные симметризованные многочлены. В настоящей работе также используются квадратичные симметризованные многочлены, но будет рассмотрен комплексный интеграл.
Ключевые слова
В данной работе продолжено исследование интегральной конструкции, впервые рас- смотренной В. Х. Салиховым и В. А. Андросенко в 2015 г. в работе [1]. Эта конструкция является модификацией интеграла, введенного Р. Марковеккио в 2009 г. в [2] для нахож- дения новой оценки меры иррациональности числа ln 2. С помощью нее В. А. Андросенко в [1] была усилена оценка меры иррациональности числа √� 3 . Отметим, что прежние результаты принадлежали Л. В. Данилову [3], К. Алади и М. Л. Робинсон [4], Г. В. Чудновскому [5], А. К. Дубицкасу [6], М. Хата [7], [8], Дж. Рину [9]. Другое направление исследования этой интегральной конструкции – получение оценок приближения некоторых констант числами из квадратичных полей. В 2016 г. М. Ю. Лучин и В. Х. Салихов в [10] улучшили оценку приближения числа ln 2 числами из поля Q( √ 2). Прежние оценки были найдены в работах Ф. Аморозо и К. Виолы [11] и Е. С. Золотухиной [12]. Цель работы – получить новую оценку приближения логарифма "золотого сечения" числами из поля Q( √ 5). Предыдущая оценка принадлежит В. Х. Салихову и Е. С. Золо- тухиной
Ключевые слова
Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей элементов гиперэл- липтического поля тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных �-единиц гиперэллиптического поля и проблемой кручения в якобиане соответствующей гиперэллиптической кривой. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 году. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел приведенные три проблемы остаются от- крытыми. Теория функциональных непрерывных дробей стала мощным арифметическим инструментом для исследования этих проблем. Кроме этого, возникающие в теория функ- циональных непрерывных дробей задачи имеют собственный интерес. Иногда эти задачи имеют аналоги в числовом случае, но особенно интересны задачи, которые значительно отличаются от числового случая. Одной из таких задач является задача об оценке сверху длин периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического по- ля над полем рациональных чисел. В данной статье мы находим оценки сверху на длины периодов для ключевых элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, длина периода рассматриваемых элементов либо бесконечна, либо не превосходит удво- енной степени фундаментальной �-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В. П. Плато- новым и Г. В. Федоровым для гиперэллиптических полей � = Q(�)( √ �), deg � = 2� + 2, найден точный промежуток значений � ∈ Z таких, что непрерывные дроби элементов ви- да √ �/ℎ� ∈ � ∖ Q(�) периодические. Используя этот результат в данной статье найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элемен- тов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел, зависящие только от рода гиперэллиптического поля и порядка группы кручения якобиана соответствующей гипер- эллиптической кривой.
Ключевые слова
Функция Харди �(�) принимает вещественные значения при вещественных значениях �, и вещественные нули �(�) являются нулями �(�), лежащими на критической прямой. Первым результатом о нулях дзета-функции Римана �(�) на критической прямой явля- ется теорема Г.Харди. В 1914 г. он доказал, что �(1/2+��) имеет бесконечно много веще- ственных нулей. Затем Харди и Литтлвуд в 1921 г. доказали, что промежуток (�, � +�) при � > �1/4+� содержит нуль нечётного порядка �(1/2+��). Ян Мозер в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при � > �1/6 ln2 �. В 1981 г. А.А.Карацуба доказал теорему Харди–Литллвуда уже при � > �5/32 ln2 �. В 2006 г. З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев задачу о величине промежутка (�, �+�) кри- тической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка дзета-функции, свели к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм. В 2009 г. З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев нашли нижнюю грань величины �1(�, �) по � — множеству всех экспоненциальных пар (�, �), отличных от (1/2, 1/2) и имеющих вид inf (�,�)∈� �1(�; �) = � + 1, где � = 0.8290213568591335924092397772831120 . . . – постоянная Ранкина. В 1981 г. А.А.Карацуба вместе с задачей о соседних нулях функции �(�) также изучил задачу о соседних точках экстремума или точках перегиба функции �(�) или в более общей подстановке – о соседних нулях функции �(�)(�), � > 1. Он показал, что с увеличением � длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль �(�)(�), уменьшается. Основным результатом этой работы является сведение задачи о величине промежутка (�, � +�) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечётного порядка функ- ции �(�)(�) (� ≥ 1), к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальной тригонометрической суммы и уточнение теоремы А.А.Карацубы при � = 1.
Ключевые слова
Статья состоит из двух частей. В первой части излагается обзор результатов о наи- лучшего приближения периодических дифференцируемый функций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве �2 := �2[0, 2�]. Приведены точные неравенства между величиною наилучшем приближении функции и усредненными с заданным весом значениями модулей непрерывности �-го порядка �-той производной функции, а также их аналоги для некоторых модификаций модуля непрерывности �-го порядка. Во второй части статьи приведены некоторые новые точные неравенства типа Джек- сона-Стечкина для характеристики гладкости, введенной К. В. Руновским [2] и более по- дробно изученной С. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной [14]. Получен точный результат об одновременном приближении функции и ее последовательных производных для некоторых классов функций, задаваемых указанной характеристикой гладкости.
Ключевые слова
Понятие насыщенности, введенное в конце прошлого века, оказалось плодотворным при изучении бесконечных групп. Было получено описание различных классов бесконечных групп с различными вариантами насыщающих множеств. В частности, было установлено, что периодические группы с насыщающим множеством, состоящим из конечных простых неабелевых групп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, есть в точно- сти локально конечные группы лиева типа над подходящим локально конечным полем. Естественным шагом в дальнейших исследованиях был отказ от условия периодичности на исследуемую группу и отказ от структуры насыщающего множества, как множества, состоящего из конечных простых неабелевых групп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности. В настоящей работе рассматриваются смешанные группы (т.е. группы ко- торые содержат как элементы конечного порядка, так и элементы бесконечного порядка) Шункова. Хорошо известно, что группа Шункова не обязана обладать периодической частью (т.е. множество элементов конечного порядка в группе Шункова не обязательно является группой). В качестве насыщающего множества рассматривается множество полных линей- ных групп степени 2 над конечными полями четной характеристики. Отсутствие аналогов известных результатов В. Д. Мазурова о периодических группах с абелевыми централи- заторами инволюций долгое время не позволяло установить структуру группы Шункова с упомянутым выше насыщающим множеством. В данной работе эту трудность удалось преодолеть. Доказывается, что группа Шункова, насыщенная полными линейными груп- пами степени 2 над конечными полями характеристики 2, локально конечна и изоморфна полной линейной группе степени 2 над подходящим локально конечным полем характери- стики 2.
Ключевые слова
Развитие современных промышленных производств выдвигает ответственную и слож- ную задачу охраны населения, обслуживающего персонала и окружающей среды от ава- рий. Первостепенное значение приобретает анализ возможных отклонений от нормальных эксплуатационных режимов на данных производствах и тщательное изучение возможного развития различных аварийных ситуаций, приводящих к динамическим воздействиям на сооружения и нахождение условий разрушения элементов конструкций. В статье предло- жена математическая методика нахождения условий разрушения элементов строительных конструкций динамическим нагружением. Для решения динамических задач, использует- ся вариационный подход, основанный на построении функционала расчета мощности упру- гой деформации с учетом мощности сил инерции, в контексте с применением современ- ных программных комплексов, базирующихся на методе конечных элементов. В качестве примера рассмотрена задача компьютерного моделирования воздействия динамической нагрузки, расположенной над центром железобетонной плиты, позволяющая определять напряженно-деформированное состояние простейших элементов строительных конструк- ций плит. Все расчеты производились в среде ANSYSLS-DYNA. Получены результаты в форме графиков скоростей деформаций и полей напряжений. Проведено сравнение полу- ченных результатов с аналитическим решением аналогичной задачи, приведенной в работе Г.Т. Володина.
Ключевые слова
В работе описаны исторические аспекты изучения световых и электрических явлений, способствующих возникновению лазера и развития лазерной техники. Представлен прин- цип действия лазера, перечислены основные типы и характеристики лазеров. Показана зависимость мощности излучения от длины волны лазера. Рассказано о различных обла- стях применения лазеров. Приведен список современной научной литературы с техноло- гическими параметрами лазерной обработки различных материалов.
Ключевые слова
Статья посвящена выдающемуся математику Александру Яковлевичу Хинчину в связи с его 125-летием со дня рождения и 60–летием со дня кончины. Дан комментарий по результатам А. Я. Хинчина в теории чисел.
Ключевые слова
Работа посвящена сто пятнадцатой годовщине со дня рождения Николая Григорьевича Чудакова.
Ключевые слова
Авторы статьи ставили перед собой задачи: охарактеризовать основные этапы жиз- ни ученого и преподавателя Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого Владислава Ивановича Рыбакова и дать краткий анализ его научной деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие функционального анализа. Особо отмечаются исследования В. И. Рыбакова по теории меры и интеграла. Под его руководством вели научную работу отдельные студенты, которые впоследствии стали кандидатами физико-математических наук. Владиславом Ивановичем Рыбаковым получены глубокие, содержательные научные результаты. Например, о «the classical theorem of Rybakov» можно прочитать в книгах и статьях, опубликованных в международной математической печати. Владислав Иванович Рыбакова активно занимался научной деятельностью до своей смерти. В статье приводятся результаты, полученные В. И. Рыбаковым в разные периоды его жизни.