В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального ви- да, а также оценка меры множества точек в которых такие функции принимают малые значения. Пусть ?1 (?) , ..., ?? (?) функции определенные на интервале ?, ?+1 раз диффе- ренцируемы и вронскиан из производных почти везде (в смысле меры Лебега) на ? отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функ- ции ? (?) = ???? (?) + ... + ?1?1 (?) + ?0, ?? ∈ ?, 1 ≤ ? ≤ ? является обобщением многих задач о распределении нулей полиномов и имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений. Интересным оказался тот факт, что в распределении корней функции ? (?) и распределении нулей полиномов есть много общего. Например, количе- ство нулей функции ? (?) на фиксированном отрезке не превышает ?, как и у полиномов — количество нулей не превышает степень полинома. Были доказаны три теоремы: об оценке количества нулей сверху, об оценке количества нулей снизу, а также вспомогательная метрическая теорема, которая необходима для полу- чения оценок снизу. При получении нижних оценок был использован метод существенных и несущественных областей, которые ввел В. Г. Спринджук. Пусть ? > 1 достаточно большое целое число, а интервал ? имеет длину ?−?, 0 ≤ ? < 1. Были получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции ? (?) на интервале ?, при |?? | ≤ ?, 0 ≤ ? < 1, а также была указана зависимость этого количества от интер- вала ?. При ? = 0 аналогичные результаты имеются у А. С. Пяртли, В. Г. Спринджука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, Н. В. Будариной.
Чебышевский сборник
2018. — Выпуск 1 (65)
Содержание:
Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из основыных направлений теории диофантовых приближений. В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих получать подобные оценки для значений аналитических функций. Наиболее эффективным оказался метод, связанный с построением различных интегральных конструкций; одним из первых подоб- ных построений является классическое интугральное представление гипергеометрической функции Гаусса. Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматри- вались многими зарубежными авторами: А. Бейкер и Д. Вустольц [4], А. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [5], К. Ву [6], Д. Рин и П. Тоффин [7]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от ло- гарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффици- ентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональ- ных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [8]. Затем В. Х. Салихов в работе [3], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа ln 3. Впоследствии В. Х. Са- лихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, уда- лось улучшить оценку меры иррациональности числа ? [15]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) полу- чил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], Е. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел: ?(log(5/3)) 6 5.512 . . . [14], ?(log(8/5)) < 5.9897 [12], ?(log(7/5)) 6 4.865 . . . [14], ?(log(9/7)) 6 3.6455 . . . [10], ?(log(7/4)) < 8.1004 [13]. С помощью интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочле- нах, получена новая оценка меры иррациональности числа ln 3. Предыдущий результат принадлежал К. Ву и Л. Вангу и был установлен в 2014 г. Улучшение оценки связано с добавлением к симметризованным многочленам, исполь- зованным в интегральной конструкции К. Ву и Л. Ванга, специального квадратного сим- метризованного многочлена.
Ключевые слова
Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности опе- раций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Всякую такую ал- гебру можно рассматривать как упорядоченную отношением теоретико-множественного включения. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозна- чим через ? ??{Ω} (? ??{Ω, ⊂} многообразие, порождённое алгебрами [соответственно упо- рядоченными алгебрами] отношений с операциями из Ω. Операции над отношениями, как правило, задаются формулами исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операция является класс диофан- товых операций. Операция называется диофантовой, если она может быть задана с помо- щью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. В работе изучаются алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды отношений. В качестве рассматри- ваемой операции выступает диофантова операция *, определяемая следующим образом: ? * ? = {(?, ?) ∈ ? × ? : (∃?)(?, ?) ∈ ? ∧ (?, ?) ∈ ?}. Отношение ? * ? представляет собой результат цилиндрификации пересечения ?∩? бинарных отношений ? и ?. В работе нахо- дятся конечные базисы тождеств для многообразий ? ??{*} и ? ??{*, ⊂}. Группоид (?, ·) принадлежит многообразию ? ??{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тожде- ствам: ?? = ?? (1), (??)2 = ?? (2), (??)? = ?? (3), ?2?2 = ?2? (4), (?2?2)? = ?2(?2?) (5). Упорядоченный группоид (?, ·,≤) принадлежит многообразию ? ??{*, ⊂} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)–(5) и тождествам: ? ≤ ?2 (6), ?? ≤ ?2 (7). В качестве следствия также получен конечный базис тождеств многообразия ? ??{*, ∪}.
Ключевые слова
Рассматривается задача моделирования поведения армированной бетонной цилиндри- ческой оболочки в условиях радиационного облучения. Получены разрешающие уравнения для оболочки, учитывающие совместное действие нагрузки и радиационного облучения. Считается, что механические характеристки бетона и арматуры зависят от дозы облуче- ния. Учитывается также неодинаковая работа бетона на растяжение и сжатие. При выводе используется прием замены дискретного армирования в каждом направлении некоторым эквивалентным слоем. Для решения полученных уравнений предложено использовать ша- говую по времени методику с нахождением на каждом шаге закона распределения дозы облучения по телу оболочки, деформации распухания, а по ним законов распределения механических характеристик бетона и арматуры с учетом влияния облучения и характера напряженного состояния.
Ключевые слова
Статья посвящена памяти Олега Николаевича Введенского (1937 – 1981 гг.). О. Н. Вве- денский был учеником академика И. Р. Шафаревича. Исследования О. Н. и полученные им результаты связаны с двойственностью в эллиптических кривых и с соответствующи- ми когомологиями Галуа над локальными полями, со спариванием Шафаревича-Тэйта и с другими спариваниями, с локальной и квази-локальной теорией полей классов эллипти- ческих кривых, с теорией абелевых многообразий размерности больше 1, с теорией ком- мутативных формальных групп над локальными полями. Представлены как результаты, полученные О. Н. Введенским, так и новые избранные результаты, развивающие иссле- дования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Первая часть статьи, представлення здесь, является вве- дением как в результаты, полученные О. Н. Введенским в направлении двойственности абелевых многообразий и формальных групп, так и в новые избранные результаты, разви- вающие исследования в направлениях фундаментальных групп схем, главных однородных пространств (торсеров) и двойственности. Во Введении приведены предварительные све- дения и представлено содержание статьи. В первом разделе дан краткий обзор избранных результатов по теории алгебраических, квазиалгебраические и проалгебраические группы и групповых схем. Далее, в разделе 2 преставлены избранные результаты по фундамен- тальным группам алгебраических многообразий, по фундаментальным группам схем, а в разделе 3 - избранные результаты о главных однородных пространствах (торсерах), разви- вающие исследования О. Н. и других авторов. Термин торсер мы используем как перевод на русский язык в редакции И.Р. Шафаревича английского термина torsor. В разделе 4 даны сведения о двойственности, а в разделе 5 представлены результаты О. Н. по арифме- тической теории формальных групп и их развитие. Результаты, этого раздела, представ- ленные над локальными и квази-локальными полями ?, над их кольцами целых, и над их полями вычетов ?, связанны (1) с формальной структурой абелевых многообразий, (2) с коммутативными формальными группами, (3) с соответствующими гомоморфизмами и изогениями. В статье алгебраические многообразия, абелевы схемы и коммутативные фор- мальные групповые схемы определены, как правило, над локальными и квази-локальными полями, над их кольцами целых, и над их полями вычетов. Но кратко рассматриваются эти объектыи и над глобальными полями, так как О. Н. интересовала тематика алгебраи- ческих многообразий над глобальными полями и он проводил соответствующие исследова- ния. Предполагается, что характеристика полей вычетов больше 3, если не оговаривается иное.
Ключевые слова
Для косинус-преобразования Фурье на полупрямой Б. Логаном в 1983 году были по- ставлены и решены две экстремальные задачи. В первой задаче необходимо было найти минимальную окрестность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспоненциального типа не выше ? , имеющая неотрицательное преобразование Фурье, неположительна. Во второй задаче необходимо было найти минимальную окрест- ность нуля, вне которой нетривиальная интегрируемая четная целая функция экспонен- циального типа не выше ? , имеющая неотрицательное преобразование Фурье и нулевое среднее значение, неотрицательна. Наибольшее развитие получила первая задача Логана, потому что она оказалась связанной с задачей об оптимальном аргументе в модуле непре- рывности в точном неравенстве Джексона в пространстве ?2 между величиной наилучше- го приближения целыми функциями экспоненциального типа и модулем непрерывности. Она была решена для преобразования Фурье на евклидовом пространстве и его обобще- ния преобразования Данкля, для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой и преобразования Фурье на гиперболоиде. Вторая задача Логана была решена только для преобразования Фурье на евклидовом пространстве. В настоящей работе она решается для преобразования Фурье по собствен- ным функциям задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, в частности, для преобразо- ваний Ганкеля и Якоби. В качестве следствий этих результатов с помощью усреднения функций по евклидовой сфере получено решение второй задачи Логана для преобразова- ния Данкля и преобразования Фурье на гиперболоиде. Общие оценки получены с помощью квадратурной формулы Гаусса по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля на полупрямой, недавно доказанной авторами работы. Во всех случаях построены экстре- мальные функции. Доказана их единственность.
Ключевые слова
В работе продолжены исследования нового класса рядов Дирихле — дзета-функций моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функций мо- ноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы и для дзета- функций множеств простых элементов моноидов с однозначным разложением на простые элементы. Для любого ? > 1 построены примеры рядов Дирихле, у которых абсцисса абсолютной сходимости ? = 1 ? . И для любого натурального ? > 1 построены примеры пары дзета- функций ?(?|?) и ?(??,?|?) с равенством ???,? = ?? ? . Определено понятие сходимости последовательности множеств натуральных чисел. Доказано, что соответствующая последовательность дзета-функций этих множеств нату- ральных чисел будет равномерно сходиться в подходящей правой полуплоскости к дзета- функции предельного множества. Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций мо- ноидов. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однознач- ным разложением на простые множители. Найден явный вид обратного ряда к дзета-функции множества простых чисел, допол- ненного единицей. Найден явный вид отношения дзета-функции Римана к дзета-функции множества простых чисел, дополненного единицей. Рассмотрены вложенные последовательности моноидов, порожденные простыми чис- лами. Для дзета-функций этих моноидов сформулирован принцип вложенности, который позволяет переносить результаты о коэффициентах одних дзета-функций на коэффициен- ты других дзета-функций. В работе удалось впервые описать общий вид всех моноидов натуральных чисел с од- нозначным разложением на простые множители. В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натураль- ных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова
В работе продолжено изучение нового класса рядов Дирихле — дзета-функции мо- ноидов натуральных чисел. Прежде всего детально изучена дзета функция ?(?(?)|?) геометрической прогресс ?(?) с первым членом равным 1 и произвольным натураль- ным знаменателем ? > 1, которая является простейшем моноидом натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы моноида. Сформулирована гипотеза о заградительном ряде для любого экспоненциального мно- жества ?? простых чисел. В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натураль- ных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова
Рассматривается класс рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, опре- деляющих функции, регулярные в правой полуплоскости комплексной плоскости и до- пускающие аппроксимацию полиномами Дирихле в критической полосе. Показано, что условие регулярности на мнимой оси позволяет аналитически продолжить такие ряды как целые функции на комплексную плоскость. В основе доказательсва этого факта лежат свойства аппроцксимационных полиномов Дирихле и идеи Римана-Шварца, заложенные в принципе симметрии аналитического про- должения функций комплексного переменного. Указан класс рядов Дирихле, для которых выполняется условие аналитичности на мнимой оси. Нужно отметить, что полученный в работе результат имеет непосредственное отноше- ние к решению известной проблемы обобщенных характеров, поставленной Ю. В. Линни- ком и Н. Г. Чудаковым в 1950м году. Указанный в работе подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с числовыми характерами допускает обобщение на ряды Дирихле с характерами числовых полей. Это позвволяет получить аналитическое продолжение не используя функциональ- ное уравнение ?-функций Дирихле числовых полей на комплексную плоскость. Отметим также, что изучаемому в работе классу рядов Дирихле принадлежат и ряды Дирихле, коэффициенты которых определяются неглавными обобщенными характерами. Можно показать, что для этих рядов выполняется условие аналитического продолжения. Еще в 1984 году В. Н. Кузнецов показал, что в случае аналитического продолжения таких рядов целым образом на комплексную плоскость с определенным порядком роста модуля, то будет иметь место гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что обобщенный характер является характером Дирихле. Но окончательное решение проблемы обобщенных характеров, по- ставленной в 1950м году Ю. В. Линником и Н. Г. Чудаковым, будет приведено в следующих работах авторов.
Ключевые слова
После 1975 г. работы Воронина известно, что некоторые дзета и ?-функции универсаль- ны в том смысле, что их сдвигами приближается широкий класс аналитических функций. Рассматриваются два типа сдвигов: непрерывный и дискретный. В работе изучается универсальность дзета-функций Лерха ?(?, ?, ?), ? = ? + ??, кото- рые в полуплоскости ? > 1 определяются рядами Дирихле с членами ?2????(? + ?)−? с фиксированными параметрами ? ∈ R и ?, 0 < ? 6 1, и мероморфно продолжаются на всю комплексную плоскость. Получены совместные дискретные теоремы универсальности для дзета-функций Лерха. Именно, набор аналитических функций ?1(?), . . . , ??(?) одно- временно приближаются сдвигами ?(?1, ?1, ? + ??ℎ), . . . ,?(??, ??, ? + ??ℎ), ? = 0, 1, 2, . . . , где ℎ > 0 - фиксированное число. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел множества {︀ (log(? + ??) : ? ∈ N0, ? = 1, . . . , ?), 2? ℎ }︀ . Доказательство теорем универсальности использует вероятностные предельные теоремы о слабой сходи- мости вероятностных мер в пространстве аналитических функций.
Ключевые слова
В работе дан обзор методов расчета, основных параметров процессов пластического деформирования дилатирующих материалов, типичными представителями которых яв- ляются порошковые металлические системы различных химических составов. В их ос- нову положены математические модели, использующие не только качественное объясне- ние, но и количественное описание эффекта дилатансии. Приведена полная система ос- новных уравнений теории пластичности жесткопластических изотропных дилатирующих сред. Рассмотрен пример расчета установившегося пластического течения в условиях осе- симметричной деформации. Показано, что для осесимметричной деформации уравнения относительно проекций вектора скорости на характеристические направления, аналогич- ны уравнениям для плоской деформации. Установлено, что используемые в настоящее время условия текучести с различной степенью точности описывают виды дилатансии (разрыхление и уплотнение). Поэтому, для более точного решение некоторых задач необ- ходимо уточнение математических моделей условия текучести. Для некоторых процессов, пластического формоизменения при решении системы уравнений дилатирующих сред це- лесообразно условия текучести представлять в виде отдельных областей: гиперболичной, параболичной и эллиптичной.
Ключевые слова
В статье рассматривается развитие понятия "артиновость"для алгебр Ли. Понятие ар- тиновости было введено для ассоциативных колец с условием минимальности. Одновре- менно с этим оно распространилось на модули и подалгебры. Чуть позже стали рассматри- вать артиновы йордановы алгебры. Для таких алгебр роль одностороннего идеала играет квадратичный идеал или, как назвал его Н.Джекобсон, вутренний идеал. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин, С.А. Пихтильков и В.М. Поляков. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли. С.А. Пихтильков применял арти- новы алгебры Ли для построения структурной теории специальных алгебр Ли. Джорджия Бенкарт определила артиновость для алгебр Ли через внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиново- сти с помощью йордановых пар. Определение артиновости для алгебр Ли в данной статье представлено в трёх смыслах: через подалгебры, идеалы и внутренние идеалы. Представ- лена установленная авторами ранее связь между данными определениями. Рассмотрены примеры артиновых алгебр Ли. Описано применение артиновых алгебр Ли к решению проблемы Михалева: первичный радикал артиновой алгебры Ли является разрешимым
Ключевые слова
Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тож- деств, следуя А.И. Мальцеву, называется многообразием. Используя язык теории ал- гебр Ли будем говорить, что алгебра метабелева, если она удовлетворяет тождеству (??)(??) ≡ 0. Многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его подмно- гообразие обладает конечным базисом тождеств. Рост многообразия определяется ростом последовательности размерностей полилинейных частей относительно свободной алгебры многообразия. Эту последовательность традиционно называют последовательностью ко- размерностей, имея в виду полилинейные пространства идеала тождеств многообразия. В данной статье приведены результаты связанные с проблемой дробного полиномиально- го роста. Дается обзор новых примеров таких многообразий, а также приводятся новые примеры многообразий, которые не удовлетворяют свойству шпехтовости, то есть которые обладают бесконечно базируемыми подмногообразиями
Ключевые слова
Задачи, связанные с классификацией последовательностей символов некоторого алфа- вита, часто возникают в таких областях, как биоинформатика и обработка естественного языка. Методы глубокого обучения, в особенности модели на основе рекуррентных нейрон- ных сетей, в последние несколько лет зарекомендовали себя как наиболее эффективный способ решения подобных задач. Однако существующие подходы имеют серьезный недо- статок — низкую интерпретируемость получаемых результатов. Крайне сложно установить какие именно свойства входной последовательности ответственны за её принадлежность к тому или иному классу. Упрощение же таких моделей с целью повышения их интер- претируемости, в свою очередь, приводит к снижению качества классификации. Такие недостатки ограничивают применение современных методов машинного обучения во мно- гих предметных областях. В настоящей работе мы представляем принципиально новую, интерпретируемую архитектуру нейронных сетей, основанную на поиске набора коротких подпоследовательностей — мотивов, наличие которых влияет на принадлежность после- довательности к определенному классу. Ключевой составляющей предлагаемого решения является разработанный нами алгоритм дифференцируемого выравнивания, являющийся дифференцируемым аналогом таких классических способов сравнения строк, как редакци- онное расстояние Левенштейна и алгоритм Смита–Ватермана. В отличие от предыдущих работ, посвященных классификации последовательностей на основе мотивов, новый ме- тод позволяет не только выполнять поиск в произвольной части строки, но и учитывать возможные вставки.
Ключевые слова
Работа посвящена изучению тригонометрических сумм алгебраических сеток с весами, которые играют центральную роль в модификации метода К. К. Фролова, предложенной Н. М. Добровольским в 1984 году. Тригонометрическую сумму алгебраической сетки с весами для вектора ⃗? = ⃗0, естественно, назвать взвешенным числом точек алгебраической сетки. Во введении данной работы предложено обоснование актуальности темы исследования, даются необходимые определения и факты из современной теории метода К. К. Фроло- ва, доказывается важная теорема о разложении тригонометрической суммы алгебраиче- ской сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки. В разделе «Вспомогательные леммы» приводятся без доказательства необходимые факты из теории весовых функций специального вида, которые играют принципиальную роль в модификации Н. М. Добро- вольского метода К. К. Фролова. Используя теорему о разложении тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами в ряд по точкам алгебраической сетки и лемму о значении тригонометрического интеграла от весовой функции, в работе выводится асимптотическая формула для взве- шенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка 2, которая утверждает, что такое число стремится к единице. Аналогично, показано, что при росте детерминанта алгебраической решётки для лю- бого вектора ⃗? ̸= ⃗0, тригонометрическая сумма алгебраических сеток с весами, заданной специальной весовой функцией, стремится к 0. Для простоты изложения в основном тексте статьи рассматривается только случай простейшей весовой функции порядка 2. В заключении сформулированы без доказательства аналогичные утверждения о значе- ниях тригонометрических сумм алгебраических сеток со специальными весовыми функ- циями порядка ? + 1 для произвольного натурального ?. А именно, утверждается, что для взвешенного числа точек алгебраической сетки со специальной весовой функцией порядка ? справедливо стремление к 1 с остаточным чле- ном порядка ? − 1 логарифма детерминанта алгебраической решётки, делённого на ? + 1 степень детерминанта алгебраической решётки. Аналогичное утверждение справедливо о стремлении к нулю тригонометрической суммы алгебраической сетки с весами, заданной специальной весовой функцией порядка ? + 1.
Ключевые слова
Представлено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом эллипсо- иде ? с внешним слоисто-неоднородным слоем. Эллипсоид находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью. Граница полупространства Π является акустически жесткой или акустически мягкой поверхностью. Для решения область, занятая жидкостью, расширена до полного пространства. Вве- дено дополнительное препятствие, являющееся копией ?, расположенное зеркально по отношению к плоскости Π. Добавление второй падающей плоской волны обеспечивает вы- полнение того условия в точках плоскости Π, которое соответствует типу границы полу- пространства в начальной постановке задачи. Таким образом, задача сводится к задаче о рассеянии двух плоских звуковых волн на двух эллипсоидах в неограниченном простран- стве. Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости. Во внешней части окружающей среды реше- ние ищется аналитически в форме разложения по сферическим гармоникам и функциям Бесселя. В шаровой области, включающей два эллипсоида и прилегающий слой жидкости, используется метод конечных элементов (МКЭ). Представлены результаты расчета диаграмм направленности рассеянного звукового по- ля в дальней зоне, которые показывают влияние геометрических и материальных пара- метров эллипсоида на дифракцию звука.
Ключевые слова
В статье получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на двух однородных упругих цилиндрах с радиально-неоднородными покрытиями, находя- щимися в идеальной жидкости. Волновые поля в содержащей среде и однородных упругих телах находятся аналитически, а для нахождения полей смещений в неоднородных покры- тиях построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изме- нять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать со- ответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Задача представляет интерес для изучения дифракции звука на решетке цилиндрических тел, а также служит необходимым элементом решения методом мнимых источников задачи о ди- фракции звука на одиночном однородном упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи акустически мягкой или абсолютно жесткой плоской поверхности