Чебышевский сборник

Описана история создания специализированной школы-интерната №18 физико-математического профиля при МГУ им. М. В. Ломоносова. Перечислены исторические персоналии, которые стояли у истоков создания школ для обучения одаренных детей: академики - А. Н. Колмогоров, И. К. Кикоин, И. Г. Петровский, М. А. Лаврентьев; министр высшего и среднего образования В. П. Елютин и др. приведены исторические документы и фотографии. Дан персональный состав первого выпуска (1963-1964 г.г.) специализированной школы-интерната №18 физико-математического профиля. Подробно описана биография выдающегося математика Г. И. Архипова - ученика ФМШ №18 первого выпуска. Кратко охарактеризована его научная деятельность в Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН (1983-2013 г.г.) и педагогическая работа в МГУ имени М. В. Ломоносова. Перечислены его заслуги в развитие теории чисел: решение проблем, поставленных академиком И. М. Виноградовым в работе «Метод тригонометрических сумм», исследования по проблеме Гильберта-Камке. Исследования Г. И. Архипова по проблеме Гильберта-Камке были удостоены в 1992 году премии А. А. Маркова Российской академии наук, которая присуждается математикам один раз в три года. Охарактеризован учебник «Лекции по математическому анализу», который написан в соавторстве с В. А. Садовничим и В. Н. Чубариковым, выдержал уже шесть изданий. Приведен список всех опубликованных трудов Г. И. Архипова.

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана Z(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле. Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки Z(s, к)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (-d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки Z(s,k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (-d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля -d) для положительно опре деленных квадратичных форм дискриминанта (-d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для Z(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана Z(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

Множества ограниченного остатка представляют собой множества, для которых остаточный член многомерной проблемы распределения дробных долей линейной функции ограничен константой, не зависящей от числа точек. Такие множества впервые были введены Гекке и далее рассматривались Эрдешем, Кестеном, Фюрстенбергом, Петерсеном, Сюсом, Лиарде и другими математиками. В настоящее время в одномерном случае известно полное описание интервалов ограниченного остатка, а также точные оценки остаточного члена в случае таких интервалов. Также получен ряд более тонких результатов, включая точные формулы для максимума и минимума остаточного члена, описание остаточного члена как кусочно-линейной функции, немонотонные оценки, вычисление среднего значения, а также оценки скорости достижения точных границ и т.д. В случае высших размерностей в настоящее время известны лишь отдельные примеры множеств ограниченного остатка. В частности, в последние годы В. Г. Журавлевым, А. В. Шутовым и А. А. Абросимовой были предложены новые конструкции семейств многомерных множеств ограниченного остатка, основанные на использовании перекладывающихся разбиений тора. Для введенных множеств удалось не только доказать ограниченность остаточного члена, но и вычислить его максимум, минимум, а также среднее значение. В настоящей работе исследуется более тонкая характеристика остаточного члена на множествах ограниченного остатка, связанных с перекладывающимися разбиениями тора: его функция распределения. Показано, что распределение остаточного члена является равномерным только в случае размерности 1. Найден алгоритм вычисления нормированной функции распределения и доказан ряд структурных результатов об этой функции. В случае ряда двумерных множеств ограниченного остатка соответствующая нормированная функция распределения вычислена в явном виде.

В работе рассматриваются некоторые гипергеометрические функции при специальном соотношении между их параметрами. Получены оценки снизу модулей линейных форм от значений таких функций. Обычно для получения подобных оценок используют метод Зигеля, см. [1], [2], [3, гл. 3]. При применении этого метода рассуждения начинаются с построения при помощи принципа Дирихле линейной приближающей формы, имеющей достаточно большой порядок нуля в начале координат. Используя систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют рассматриваемые функции, строят затем совокупность таких форм, причем определитель, составленный из их коэффициентов, не должен быть тождественным нулем. Дальнейшие шаги состоят в переходе к числовым линейным формам и к доказательству интересующих исследователя утверждений: доказывается линейная независимость значений рассматриваемых функций или устанавливаются соответствующие количественные результаты. С помощью метода Зигеля доказаны достаточно общие теоремы, касающиеся арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций, причем кроме упомянутой выше линейной независимости во многих случаях установлена также трансцендентность и алгебраическая независимость значений таких функций. Однако использование принципа Дирихле на начальном этапе ограничивает возможности метода. Его непосредственное применение возможно лишь для гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Следует отметить также недостаточную точность получаемых этим методом количественных результатов. В связи с вышесказанным был разработан некоторый аналог метода Зигеля (см. [4]), с помощью которого в ряде случаев удалось исследовать арифметическую природу значений гипергеометрических функций также и с иррациональными параметрами. Еще раньше, однако, стали применяться методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. С помощью таких построений была исследована арифметическая природа классических констант и были получены соответствующие количественные результаты, см., например, [5, гл. 1]. В дальнейшем выяснилось, что эффективные методы применимы и при исследовании обобщенных гипергеометрических функций. Были получены, в частности, явные формулы для коэффициентов линейных приближающих форм. В ряде случаев эти формулы позволяют реализовать схему метода Зигеля и для гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Если в приведенной ниже формуле (1) многочлен а{х) тождественно равен единице, то полученные эффективным методом результаты носят довольно общий характер, и здесь дальнейшее развитие этого метода наталкивается на трудности принципиального характера. Если же а(х) ^ 1, то возможности эффективного метода еще не исчерпаны: результаты, полученные на сегодняшний день, могут быть обобщены и улучшены. В теоремах, доказанных в настоящей работе, устанавливаются новые качественные и количественные результаты для некоторых гипергеометрических функций, у которых а(х) = х + а, и многочлен b(x) из (1) имеет специальный вид. Рассматривается случай иррациональных параметров, однако используемые соображения позволят, по-видимому, получить новые результаты для таких функций и в случае рациональных параметров.

Даны оценки линейных сумм с многочленом Бернулли первой степени. Если коэффициент в линейной функции является иррaционaльным числом с огрaниченными неполными чaстными, то aрифметическaя суммa имеет “корневую” оценку. Подобную оценку дaет теоремa Ротa для любого иррaционaльного aлгебрaического числa, но при этом констaн-ты в оценкaх будут неэффективными. Новые трудности возникaют для сумм по простым числaм. Они связaны с рaссмотрением билинейных форм.

Во многих задачах теории чисел, связанных с распределением обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю q, большую роль играют оценки тригонометрических сумм специального вида, которые называются суммами Клоостермана. В свою очередь, оценки таких сумм зачастую опираются на оценку А. Вейля т.н. полной суммы Клоостермана по простому модулю. Последняя позволяет оценивать со степенным понижением суммы Клоостермана, число N слагаемых в которых превышает величину q, где е > 0 - сколь угодно малое фиксированное число. Оценка А. Вейля была получена средствами алгебраической геометрии. Позже С. А. Степановым было найдено элементарное её доказательство, также достаточно сложное. Цель настоящей заметки - дать элементарный вывод оценки суммы Клоостермана, также позволяющий получить степенное понижение в случае N >q. Этот вывод основан на использовании т.н. “аддитивного сдвига” переменной суммирования, который широко используется в различных задачах теории чисел.

Область исследования работы относится к разделу теории чисел, занимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Рассматриваются орбиты движения точек на торе. Орбиты задаются сдвигом на иррациональный вектор начальной точки. Для определения колличества точек орбиты, попавших в заданную область T на торе, вводится считающая функция r(i). Справедлива ассимптотическая формула r(i) = iVol (T)+ S(i), где S(i) = o(i) - остаточный член формулы, или отклонение считающей функции от ожидаемой величины. Множество называется множеством ограниченного остатка или BR-множеством, если границы отклонений не превосходят некоторой константы. В работе используется новый метод построения множеств ограниченного остатка на основе разбиений параметрических многогранников. Рассматриваемые многогранники являются развертками тора. Необходимым условием для построения множеств ограниченного остатка, является разбиение развертки на такие области, при перекладывании котрых, снова будет получаться исходная развертка, а перекладывание будет соответсвовать сдвигу тора. Автором было получено семейство разбиений, обладающих этим свойством, и порождающих двумерные BR-множества. Найденный метод параметрических многогранников, позволил не только получить точные оценки остаточных членов, необходимые для решения прикладных задач, но и определить средние значения отклонений, а так же построить оптимизацию границ отклонений, позволяющую применять полученные результаты для построения сбалансированных последовательностей (являющихся аналогом последовательности Штурма в одномерном случае). В настоящей работе удалось обобщить рассмотренный метод на случай трехмерных торов и получить для них точные оценки остаточных членов и их средние значения.

Работа посвящена изучению связи теории распределения целых точек на простейшем гиперболоиде с некоторыми гипотезами для L-функции Дирихле. При применении дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), разработанного Ю. В. Линником (см. [1, 2]) к задаче распределения целых точек на гиперболоидах x1x3 - x = m (так же как и в случае сферы) в формулировках теорем об асимптотически равномерном распределении целых точек участвует некоторое вспомогательное простое число p такое, что символ Лежандра = 1. В эргодических теоремах и теоремах перемешивания для целых точек наличие такого простого числа было естественным, так как оно порождало поток примитивных точек, используемый в ДЭМ при выводе асимптотических формул для числа целых точек на сфере и на гиперболоиде. Представляет большой интерес получение остаточных членов в асимптотических формулах для целых точек по областям на сфере и на гиперболоиде в рамках используемого ДЭМ (см. [2, 3]). Исследования в этом направлении для целых точек на эллипсоидах проводились А. В. Малышевым и автором [3], а также Е. П. Голубевой [4, 5] методом А. И. Виноградов [6], являющегося развитием дисперсионного метода Ю. В. Линника [7]. Оказывается, что некоторые ослабленные гипотезы для L-функции Дирихле, непосредственно следующие из расширенной гипотезы Римана позволяют устранить указанный недостаток. Учитывая это обстоятельство в сочетании с тем, что А. В. Малышевым и Б. М. Широковым в [8] получено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для гиперболоидов обоих видов, мы проводим соответствующее исследование. В нашей работе исследование ведется сразу для обоих случаев простейших гиперболоидов и в сочетании с использованием некоторых гипотез о поведении L-функции Дирихле получаем значительное упрощение рассуждений и улучшение формулировок результатов. В связи с нашим исследованием отметим так же, что Дьюк [9] методом модулярных форм с использованием результатов Иванца [10] получил асимптотическую формулу с безусловным остаточным членом для числа целых точек в областях на простейшем гиперболоиде. Но в [9] в отличие от нашей работы не рассматривалось распределение целых точек по классам вычетов по заданному модулю. В связи с этим возникает интересная задача по перенесению результатов Дьюк [9] на распределение целых точек простейшего гиперболоида по прогрессиям, т.е. по классам вычетов.

Владимир Игоревич Парусников скончался 22 августа 2015 года после тяжелой и продолжительной болезни. Он родился в Москве 21 января 1957 года. Владимир Игоревич окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, в 1982 году - аспирантуру и в 1983 году защитил кандидатскую диссертацию на мехмате МГУ. В Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша он работал с 1982 года младшим, а с 1996 - старшим научным сотрудником. Опубликовал более 45 научных работ по функциональным и числовым цепным дробям и их обобщениям. В. И. Парусников был добрым, честным, ответственным человеком и талантливым математиком. Его кончина - это большая потеря для ИПМ им. М. В. Келдыша и для науки в целом. Похоронен на Хованском кладбище в Москве. Здесь даётся обзор его математических работ. Сначала он изучал обобщённые функциональные цепные дроби и получил по ним сильные результаты. Последние двадцать лет он совместно с А. Д. Брюно искал многомерное обобщение цепной дроби, дающее как наилучшие диофантовы приближения, так и периоды в алгебраическом случае. Такое обобщение было найдено. Первый раздел статьи подготовлен А. И. Аптекаревым, второй раздел - А. Д. Брюно, список научных работ В. И. Парусникова - А. Б. Батхиным.