Чебышевский сборник

Данной работе исследуется сложность умножения матриц. Ф. Штрассен в 1969 году [1] построил алгоритм для умножения двух матриц порядка n с числом арифметических операций O (n 7 У, что асимптотически 3 лучше, чем сложность порядка n стандартного алгоритма умножения матриц «строка на столбец». В последующие годы проводились активные исследования минимальной сложности различных алгебраических операций. Результаты исследований в этой области хорошо отражены в книге [2]. Ситуация в задаче об умножении матриц оказалась достаточно тяжелой. К концу 1980-х годов усилиями многих математиков сложность умножения матриц удалось понизить до O (н ' ) [3], но с тех пор существенных продвижений в этой задаче нет. Для того, чтобы лучше понять проблемы, возникающие при поиске быстрых алгоритмов умножения матриц, эта задача исследуется в разных направлениях. Одним из таких направлений является исследование минимальной сложности умножения матриц малых размеров. Эти исследования имеют самостоятельный интерес, а также связаны с тем, что быстрые алгоритмы для умножения матриц малых размеров могут рекурсивно использоваться для умножения матриц больших размеров. В частности, алгоритм Штрассена основан на рекурсивном использовании найденного им алгоритма умножения двух матриц порядка 2 с 7 умножениями, а не с 8, как в стандартном алгоритме. Можно обратить внимание на 2 особенности алгоритма Штрассена. Во-первых, на асимптотическую оценку сложности алгоритма умножения больших матриц, построенного рекурсивно, влияет только число умножений в алгоритме умножения маленьких матриц, используемых для рекурсии. Во-вторых, при рекурсии элементы маленьких матриц сами являются матрицами и поэтому могут не коммутировать между собой. Эти 2 особенности породили исследования билинейной сложности умножения матриц и умножения в других алгебрах. В билинейных алгоритмах сначала должны вычисляться несколько произведений линейных комбинаций элементов первого сомножителя на линейные комбинации элементов второго сомножителя. А затем из этих произведений линейными комбинациями должны получаться все требуемые выражения. При этом число произведений называют билинейной сложностью билинейного алгоритма, а минимум билинейной сложности по всем билинейным алгоритмам, решающим данную задачу, называют билинейной сложностью задачи. Установить точное значение билинейной сложности редко удается даже в задачах перемножения двух матриц малого размера. Например, для задачи перемножения двух матриц размера 3 х 3 к настоящему моменту известно только, что билинейная сложность заключена между 19 и 23 [4, 5]. Несложно установить точное значение билинейной сложности умножения двух матриц, если хотя бы в одной из них всего одна строка или один столбец. В данной работе исследуется билинейная сложность умножения матрицы размера m х 2 на матрицу размера 2 х 2 над произвольным полем. Точное значение билинейной сложности для умножения таких матриц над произвольным полем известно только при m = 2, 3, 4 [6, 7, 8]. Из результата Штрассена можно несложно получить, что билинейная сложность этой задачи не превосходит [7m/2] для произвольного поля. В работе [9] была получена такая же нижняя оценка, но только для поля из 2 элементов. Для произвольных полей в работе [5] для этой задачи получена нижняя оценка 3m + 1. В данной статье доказано, что билинейная сложность умножения матрицы размера m х 2 на матрицу размера 2 х 2 над произвольным полем при m ≥ 3 не может быть меньше чем 3m + 2.

Методы дифференциальной геометрии находят применения в исследовании информационных массивов (семейств вероятностных распределений пространств квантовых состояний, нейронных сетей и т.п.). Исследования по информационной геометрии восходят к С. Рао, который на основе фишеровской информационной матрицы определил риманову метрику на многообразии распределений вероятностей. Дальнейшие исследования привели к понятию статистического многообразия. Статистическое многообразие это гладкое конечномерное многообразие, на котором задана метрически-аффинная структура, т.е. риманова метрика и линейная связность без кручения, совместимая с заданной метрикой; при этом выполняется условие Кодацци. Геометрическое многообразие в том числе и статистическое многообразие задается структурным тензором. В предлагаемом исследовании рассматриваются статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями нормального распределения и распределения Коши. В основу исследования положено утверждение о том, что рандомизированную плотность вероятности нормального распределения можно рассматривать как решение задачи Коши для уравнения теплопроводности, а рандомизированную плотность вероятности распределения Коши можно рассматривать как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Обратно, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности можно рассматривать как рандомизированную плотность вероятности нормального распределения, а решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа как рандомизированную плотность вероятности распределения Коши. Основная задача работы состояла в том, чтобы для каждого из этих двух случаев найти компоненты информационной матрицы Фишера и структурного тензора. Для преодоления вычислительных трудностей, нами обнаружены нелинейные дифференциальные уравнения первого, второго и третьего порядков для плотности нормального распределения и плотности Коши. Компоненты метрического тензора (информационной матрицы Фишера) и компоненты тензора деформации вычисляются по формулам, в которых присутствует функция правдоподобия, т.е. логарифм от плотности распределения. Из положительной определенности информационной матрицы Фишера получаются неравенства, которым заведомо удовлетворяют решения задачи Коши с неотрицательными начальными условиями в случае уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности.

В статье рассматриваются две начально-краевые задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения ɛ (ut - Δu) = f(u; x; y; t; ɛ); (x; y; t) € g x (0 < t ≤ T), где e - малый параметр, Δ - оператор Лапласа, в случаях когда вырожденное уравнение f (u,x,y,t, 0) = 0 имеет корень и = φ(x,y,t), кратность которого равна двум или трём. Установлены условия, при которых каждая задача имеет решение погранслойного типа, построены и обоснованы асимптотики этих решений при е → 0, состоящие из регулярного ряда и нескольких погранслойных рядов. В отличие от хорошо известного случая, когда вырожденное уравнение имеет простой (однократный) корень, асимптотическое разложение погранслойного решения в случае кратного корня ведётся не по целым, а по дробным степеням малого параметра, причём эти дробные степени и также масштабы погранслойных переменных зависят от кратности корня вырожденного уравнения. Ещё одно существенное отличие состоит в том, что пограничный слой в окрестности начального момента времени оказывается трёхзонным с различным характером убывания пограничных функций и различными масштабами погранслойной переменной в разных зонах. Сам алгоритм построения пограничных функций, известный для случая простого корня, становится непригодным и требует существенной модификации. Это относится к пограничным функциям, описывающим по-гранслойное поведение решения в окрестности начального момента времени, а также к угловым пограничным функциям, играющим важную роль в окрестности кривой dg x (t = 0). Предложенный модифицированный алгоритм позволяет построить единые пограничные функции, описывающие ^Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 15-01-04619) поведение решения во всех трёх зонах пограничного слоя. В этом состоит преимущество предложенного алгоритма перед методом сращивания асимптотических разложений, когда в каждой зоне асимптотика строится раздельно, а затем производится сращивание (согласование) разложений, построенных в разных зонах. Обоснование асимптотики (т. е. доказательство теоремы о существовании решения с построенной асимптотикой) проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, суть которого состоит в том, что подходящие нижнее и верхнее решения задачи строятся с помощью формальной асимптотики.

Целью статьи является обзор некоторых важных результатов в теории квадратичных форм и алгебраических групп, которые оказали и оказывают влияние на развитие теории чисел. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Представлены математические структуры, методы и результаты, в том числе и новые, связанные в той или иной степени с исследованиями В. П. Платонова. Содержание статьи следующее. Во введении обращено внимание на классические исследования Коркина, Золотарева и Вороного по теории экстремальных форм и напоминаются соответствующие определения. В разделе "Квадратичные формы и решетки" представлены необходимые определения, результаты о решетках и квадратичных формах над полем вещественных чисел и над кольцом целых рациональных чисел. Раздел 3 "Алгебраические группы" содержит представление классов решеток в вещественных пространствах как факторов алгебраических групп, а также вариант критерия Малера компактности таких факторов. Приведен результат о компактности факторов ортогональных групп квадратичных форм, не представляющих рационально нуля, а также определения и понятия, связанные с кватернионными алгебрами над рациональными числами. Приведенные результаты явно или неявно используются в работах В. П. Платонова, а также в разделах 4 и 5. Раздел 4 "Точки Хигнера и их обобщения" содержит краткий обзор новых исследований в направлении нахождения точек Хигнера и их обобщений. В разделе 5 кратко представлены некоторые новые исследования и результаты по принципу Хассе для алгебраических групп. Для чтения статьи может быть полезным знакомство со статьей автора, опубликованной в 3-м выпуске "Чебышевского сборника" за 2015 год. Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

Усть B С R . Обозначим через (Q,B) число лежащих в B упо рядоченных наборов из к различных вещественных сопряжённых алгебраических чисел степени < n и высоты < Q. Справедливо следующее соотношение: ,Фfc (Q; B) = 2>‘2( n+ J Xk П - Xj | dx + O {Q ) , Q B где функция Xk непрерывна в R и будет явно выписана. Если n = 2, в остаточном члене появляется дополнительный множитель log Q. Данное соотношение может быть истолковано как “отталкивание” вещественных сопряжённых алгебраических чисел друг от друга. Функция Pk := Xk ^ П i j l^i

Данная работа состоит из двух основных частей. В первой части, которая представлена введением, дается достаточно полный обзор теории гиперболической дзета-функции решёток. Отличие от более ранних обзоров состоит в том, что, во-первых, большинство результатов общей теории конкретизирована к двумерному случаю. Это сделано потому, что основная цель работы - это решётки квадратичных полей. А эти решётки являются двумерными. Во-вторых, впервые получены в явном виде функциональные уравнения для гиперболической дзета-функции одномерных и двумерных диагональных решёток. Во второй части исследуется поведение гиперболической дзета-функции решётки ʌ(t) квадратичного поля при росте параметра t. Для приложений теории гиперболической дзета-функции решёток к вопросам оценки погрешности приближенного интегрирования на классе ESa с помощью обобщенных параллелепипедальных сеток с весами важно иметь оценку через растущий детерминант решётки. В данной работе получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции решётки квадратичного поля. Особенностью этой формулы является то, что она имеет двучленный главный член и остаточный член с оценкой входящих констант. В этой формуле более выпукло выявлена связь между гиперболической дзета-функцией решётки квадратичного поля и такими характеристиками квадратичного поля как: дзета-функция Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, производной дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, регулятором квадратичного поля и фундаментальной единицей квадратичного поля.

В данной работе рассматриваются вопросы о ширине собственных вербальных подгрупп для различных классов групп. Приводится обзор результатов, полученных в этом направлении. Ширина вербальной подгруппы V(G) равна наименьшему числу m € NՍ{+∞} такому, что всякий элемент подгруппы V(G) записывается в виде произведения не более чем m значений слов V Рассматриваются результаты о ширине вербальных подгрупп для свободных произведений и других свободных групповых конструкций, таких как свободные произведения с объединением и HNN-расширения. А. Х. Ремтулла решил вопрос об условиях бесконечности ширины всякой собственной вербальной подгруппы в свободных произведениях групп. В. Г. Бардаков и И. В. Добрынина получили аналогичные результаты для свободных произведений с объединением и HNN-расширений, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Также В. Г. Бардаков полностью решил вопрос о ширине вербальных подгрупп в группе кос. Для некоторых классов групп получены результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп, порожденных словами из коммутанта. Р. И. Григорчук определил условия бесконечности коммутантных вербальных подгрупп в свободных произведениях с объединением и HNN-расширениях, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Д. З. Каганом получены соответсвующие результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп для групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением с нетривиальным центром. Авторами были получены результаты о бесконечности ширины вербальных подгрупп для групп, обладающих определенными копредставле-ниями, а также для аномальных произведений различных типов групп. В статье также рассматриваются различные результаты о вербальных подгруппах в группах Артина и Кокстера, в граф-группах.

Пусть G - связная редуктивная группа, действующая на нормальном алгебраическом многообразии X. Мы исследуем эквивариантную геометрию кокасательного расслоения многообразия X и применяем полученные результаты для исследования малой группы Вейля. Цель настоящей статьи обобщить на случай квазипроективных многообразий результаты Э. Б. Винберга [19], который построил рациональное накрытие Галуа T*Х для квазиаффинного X с помощью кокасательного расслоения к пространству так называемых общих орисфер. Как хорошо известно, пример многообразия флагов показывает, что эти результаты не могут быть обобщены дословно. Мы развиваем идеи Д. А. Тимашева [18], который получил обобщение результатов Винберга для более общего класса многообразий, чем квазиаффинные многообразия, но более узкого чем квазипроективные. Мы построим семейство орисфер меньшей размерности на X, которое мы назовем вырожденными орисферами, и многообразие Hor, параметризующее это семейство, которое, тем не менее, имеет ту же размерность, что и многообразие, параметризующее общие орисферы. Более того, в квазиаффинном случае наша конструкция показывает, что множество вырожденных орисфер совпадает с множеством общих орисфер. Мы покажем, что для построенного семейства вырожденных орисфер существует G-эквивариантное симплектическое рациональное накрытие кокасательных расслоений T_(Hor )^*→T_x^*. Будет доказано, что конечное расширение полей рациональных функций на этих многообразиях, соответствующее построенному накрытию, является расширением Галуа, а его группа Галуа изоморфна малой группе Вейля. В качестве приложения этих результатов мы получим описание образа отображения моментов и нормализованного отображения моментов для TX, используя только геометрические методы. Последнее описание впервые появилось в работах Кнопа, тем не менее, его обоснование не является элементарным, поскольку в нем используются методы дифференциальных операторов

Кольцом на абелевой группе G называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с G. Подгруппа группы G называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе G. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется AI-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно AI-кольцо, то такая группа называется RAI-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах). Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа G содержит регулятор A, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа G/A называется регуляторным фактором группы G, порядок группы G/A называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ-группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора A попарно не сравнимы, то группы A и G называются жесткими. Если эти типы идем-потентны, то группа G называется группой кольцевого типа. Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа является RAI-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп. Пусть G - жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором A, циклическим регуляторным фактором G/A = {d + A) и регуляторным индексом п. Разложение A = © A регулятора A в прямую сумму групп т ёг (G) A ранга 1 и типа т определяет множество T(G) = T(A) критических типов групп G и A. Из теории ПВР-групп известно, что при подходящем выборе элементов е € A (т € T(G)) группу A можно представить в виде A ^ ф R е , где R (т € T(G)) - подкольца с единицей пот ёг (G) ля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты т (т € T(G)) почти изоморфизма группы G такие, что в делимой оболоч- Тт ке группы G любой элемент g € G можно записать в виде g ^ V е , тёг(0) т где г I элементы колец Rr (т € T(G)), однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора A. Для описания RAI-групп в некотором классе абелевых групп необходимо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом g € G, называют наименьший абсолютный идеал {g)Ai, содержащий g. Теорема 1. Пусть G - жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фик- г сированным разложением регулятора, g ^ V вг € G. Тогда тет{с) т д)л1 = д) ^0 т т. т €Т (G) Заметим, что элементы г (т € T(G)) в представлении элемента g € G определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в R . Поэтому вид главного идеала {g)Ai не зависит от разложения регулятора. Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа G кольцевого типа является RAI-группой. При этом для любого а, взаимно простого с п, существует AI-кольцо (G, х) такое, что в факторкольце (G/A, х) выполняется d х d = ad, где d = d + A, G/A = {d).

Одной из важных задач универсальной алгебры является изучение решеток, естественным образом связанных с алгебрами. В работе рассматриваются алгебры {A,p,f), сигнатура которых состоит из тернарной маль-цевской операции p и унарной операции f, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр {A,p,f) с мальцевской операцией р, определенной В.К. Карташовым. Эта алгебра определятся следующим образом. Пусть {A, f) - произвольный унар и x,y € A. Для любого элемента x унара {A, f) через f (x) обозначается результат п-кратного применения операции f к элементу х; при этом f (х) = х. Положим Ых,у = {п € N U {0} | f (x) = f {y)}, и k{x,y) = min M , , если M , = 0 и k(x,y) = то, если M , = 0. Положим далее ( z) k(x' y ^ y' ^ '’ у x, если k(x,y) >k(y,z). В работе описано строение коатомов в решетках конгруэнций алгебр {A, p, f) этого класса. Доказано, что решетка конгруэнций алгебры {A, p, f) не имеет коатомов тогда и только тогда, когда унар {A, f) связен, содержит одноэлементный подунар и имеет бесконечную глубину. Установлено, что в других случаях решетка конгруэнций алгебры {A, p, f) имеет единственный коатом. Показано, что для любых неединичных конгруэнций 9 и ф алгебры {A,'p,f) выполняется неравенство 9 V ф < ▽, где ▽ - наибольшая конгруэнция алгебры. Получены необходимые и достаточные условия, при которых решетка конгруэнций алгебр данного класса является решеткой с дополнениями, с единственными дополнениями, с относительными дополнениями, булевыми, обобщенными булевыми либо геометрическими. Установлено, что любая нетривиальная конгруэнция алгебры {A,'p, f) из рассматриваемого класса не имеет дополнения. Доказано, что решетка конгруэнций любой алгебры {A, p, f) данного класса является решеткой с копсевдодополнени-ями.

Адача классификации неприводимых представлений является чрезвычайно трудной, "дикой" задачей для таких групп как максимальные унипотентные, борелевские, параболические подгруппы в конечных простых группах лиевского типа. В 1962 году А. А. Кириллов предложил метод орбит, согласно которому неприводимые представления нильпотент-ной группы Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с копри-соединенными орбитами. В 1977 году Д. Каждан перенес метод орбит на случай конечных унипотентных групп. Однако, метод орбит не решает задачу, поскольку задача классификации коприсоединенных орбит является такой же "дикой" задачей. В 1995-2003 годах К. Андре построил теорию базисных характеров унитреугольной группы UT(n, Fg). Эти характеры не являются неприводимыми, но имеют много общих черт с неприводимыми характерами. Теория К. Андре была существенно упрощена Нинг Яном в 2001 г. В работе 2008 года П. Диаконис и И. Айзекс сформулировали общее понятие теории суперхарактеров и построили теорию суперхарактеров для алгебра групп, частным случаем которой является теория базисных характеров К. Андре. В общем случае задача состоит в том, чтобы для заданной группы построить теорию суперхарактеров, наиболее приближенную к теории неприводимых характеров. Теории суперхарактеров были посвящены многие работы. В настоящее время детально разработан случай абелевых групп; выяснена связь суперхарактеров с суммами Гаусса, Костермана, Рамануджана. Построены теории теории суперхарактеров для максимальных унипотентных подгрупп в ортогональной и симплектической группах. Решены задачи ограничения и супериндуцирования для базисных характеров. Задача построения теории суперхарактеров для параболических подгрупп остается открытой. В § 1-2 настоящей работы будет дано авторское изложение общих положений теории суперхарактеров и построена теория суперхарактеров для алгебра групп, следуя схеме работы П. Диакониса и И. Айзекса. ^Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-97017-поволжье-а В §3 анонсированы результаты автора по построению теории суперхарактеров конечных групп треугольного типа, которая в виде частного случая содержит теорию П. Диакониса и И. Айзекса для алгебра групп. Для построенной теорию получен аналог формулы А. А. Кириллова для неприводимых характеров. Показано, что ограничение суперхарактера на подгруппу треугольного типа является суммой суперхарактеров этой подгруппы. Как и в случае алгебра групп, индуцирование не работает в теории суперхарактеров. Но можно определить супериндуцирование, которое сохраняет многие свойства индуцирования, включая теоремы Фробениуса.

В 2010 г. В. П. Платоновым был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях. С помощью указанного подхода было доказано существование точек кручения новых порядков. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [2]. В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц. Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации. В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вычисления S-единиц методом непрерывных дробей. Улучшенные алгоритмы позволили построить упомянутые выше фундаментальные S-единицы больших степеней. В качестве следствия получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в соответствующих якобианах гиперэллиптических кривых.

В работе изучаются гамильтоново простые алгебры и решетки гамильтоново замкнутых подалгебр в классе алгебр с одним оператором. Результаты, полученные для алгебр с произвольной основной сигнатурой, используются для описания гамильтоново простых алгебр и решеток гамильтоново замкнутых подалгебр в классе унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Унаром с мальцевской операцией называется алгебра, сигнатура которой состоит из мальцевской операции и унарной операции, действующей как эндоморфизм относительно первой операции. Универсальная алгебра A называется гамильтоновой, если носитель любой ее подалгебры является классом некоторой конгруэнции алгебры A. А. Г. Пинус определил понятие гамильтонова замыкания на произвольной универсальной алгебре. А именно, гамильтоновым замыканием B подалгебры B универсальной алгебры A называется наименьшая подалгебра алгебры A, включающая в себя B и являющаяся классом некоторой конгруэнции алгебры A. Подалгебра B универсальной алгебры A называется гамильтоново замкнутой, если B = B. Оовокупность всех гамильтоново замкнутых подалгебр алгебры A, пополненная пустым множеством, образует решетку относительно включения. Универсальная алгебра A называется гамильтоново простой, если гамильтоново замыкание любой ее неодноэлементной непустой подалгебры совпадает с A. Получены необходимые условия гамильтоновой простоты для произвольных алгебр с оператором, все основные операции которых имеют положительную арность и являются идемпотентными. Для таких алгебр построены семейства подалгебр, образующих цепи в их решетках гамильтоново замкнутых подалгебр. В случае, когда унарный редукт алгебры связен, необходимые условия гамильтоновой простоты получены для алгебр с оператором, имеющих произвольную основную сигнатуру. Показано также, что эти условия не являются достаточными. Для произвольной алгебры с оператором, все основные операции которой идемпотентны, получены необходимые условия того, что ее решетка гамильтоново замкнутых подалгебр является цепью. Найдены необходимые и достаточные условия гамильтоновой простоты для унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Получено описание строения решеток гамильтоново замкнутых подалгебр для алгебр данного класса. Для таких решеток найдены необходимые и достаточные условия их дистрибутивности и модулярности, а также условия, при которых решетка является цепью. Описано строение атомов и коатомов этих решеток

Данной работе найдено точное значения показателя сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм для арифметической функции, удовлетворяющей функциональному уравнению гауссова типа. В частности, многочлены Бернулли удовлетворяют этому уравнению. Подобный результат справедлив для полных рациональных тригонометрических сумм (Хуа Ло-кен, 1952). Вывод основного результата работы проводится элементарным методом. Мы обязаны И. М. Виноградову за демонстрацию плодотворных результатов и выгоды этого метода. Полные рациональные арифметические суммы являются аналогами осцилляторных интегралов от периодических функций, например, тригонометрических функций. В 1978 г. были получены подобные результаты для точного значения показателя сходимости тригонометрического интеграла (Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков). Для многомерной проблемы в настоящее время удается получить только верхние и нижние оценки показателя сходимости соответствующих сумм и интегралов.

Статья посвящена научной и педагогической деятельности известного советского математика, одного из основателей Советской историко-математической школы М. Я. Выгодского (1898-1965), многие годы работавшего в тульских вузах.