Чебышевский сборник

Владимирская школа теории чисел долгое время занималась исследованием квазипериодических разбиений. Постепенно отсюда появилась задача о равномерном распределении точек на торе, при этом возникала необходимость вточныхоценках остаточных членовэтогораспределения. Область исследования работы относится к разделу теории чисел, занимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Актуальность для теории чисел изучения множеств ограниченного остатка и их многомерныхдинамическихмодификацийобусловленасовременнойтенденцией перехода от классических арифметических числовых и функциональных структур к нелинейным арифметическим структурам. Динамические системы на множествах ограниченного остатка порождают хорошо сбалансированные слова, аналогичные словам Штурма и Рози. Значимость же сбалансированных слов объясняется их многочисленными применениями в таких областях, как динамические системы, теория кодов, теория коммуникации и задачи оптимизации, теория языков и лингвистика, теория распознавания и статистическая физика. Целью работы является построение новых многомерных множеств ограниченного остатка и нахождение точных оценок остаточного члена для этих множеств. Естественно было начать решение с двухмерного тора. В результате были построены три семейства трехпараметрических двумерных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных разверток думерного тора. Теперь в распоряжении автора находятся одномерные и двумерные множества ограниченного остатка. Возникает вопрос: нельзя ли на основе уже известых множеств, построить новые множества больших размерностей. Так, с использованием произведения торических разверток, строятся четыре семейства четырехпараметрических трехмерных множеств ограниченного остатка, на основе гексагональных призмразвертоктрехмерноготора,полученныхприумноженииполуинтервалов Геккеидвумерныхгексагональныхразверток.Длявсехпостроенныхмножествопределеныточныеоценкиостаточногочленаидоказанамногомерная теорема Гекке, найдены средние значения отклонений, а в двумерном случае построена оптимизация границ отклонений. В статье приведен обзор основных результатов автора по множествам ограниченного остатка.

Проблема описания структуры дискриминантного множества вещественногомногочленачастовозникаетприрешенииразличныхприкладных задач, например, при описании множества устойчивости положений равновесия много параметрических систем,при вычислении нормальной формы системы Гамильтона в окрестности положения равновесия в случае кратных частот. В работе рассматривается структура дискриминантного множества многочлена с вещественными коэффициентами. Предлагается два подхода к его изучению. Первый подход основан на исследовании нулей идеалов, образованных набором субдискриминантов исходного многочлена. Рассмотрены различные способы вычисления субдискриминантов. Вовторомподходепредлагаетсяисследоватьособыеточкидискриминантного множества. Методами компьютерной алгебры показано, что для малых значений степени исходного полинома оба подхода эквивалентны, но первый более предпочтителен из-за меньшего размера идеалов. Предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации дискриминантногомножествавпространстве коэффициентов многочлена. Сприкладной точки зрения наибольший интерес представляет описание компоненты коразмерности 1 дискриминантного множества. Именно эта компонента делит пространство коэффициентов на области с одинаковой структурой корней многочлена. Набор компонент различных размерностей дискриминантного множества имеет иерархическую структуру. Каждая компонента большей размерности может рассматриваться как некоторая касательная развертывающая поверхность, образованная линейными многообразиями соответствующей размерности. Роль направляющей при этом выполняет компонента дискриминантного множества, имеющая размерность на единицу меньше и на которой исходный многочлен обладает единственным кратным корнем, а остальные егокорнипростые.Начинаясодномерногоалгебраического многообразия размерности 1, на котором исходный многочлен имеет единственный корень максимальной кратности, на следующем шаге алгоритма получаем описание многообразия, на котором многочлен имеет уже 2 корня - один простой и один кратный. Повторяя последовательно шаги алгоритма, получаем в итоге параметрическое представление компоненты коразмерности 1 дискриминантного множества. Приведены примеры дискриминантных множеств кубического многочлена и многочлена четвертой степени.

Простое обобщение. Пусть в трехмерном вещественном пространстве заданы три вещественные однородные линейные формы. Их модули дают отображение этого пространства в другое. В нем рассматривается выпуклая оболочка образов всех целочисленных точек первого пространства, кроме его начала координат. Замыкание этой выпуклой оболочки названо модульным многогранником. Наилучшие целочисленные приближенияккорневымподпространствам заданныхформдаютточки,образы которыхлежатнаграницемодульногомногогранника.Границамодульного многогранника вычисляется любой стандартной программой вычисления выпуклых оболочек. Алгоритм дает также периодичность для кубическихиррациональностей сположительным дискриминантом. Обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Вороной и многие другие. Универсальное обобщение. Пусть в n-мерном вещественном пространстве R заданы l линейных и k квадратичных форм (n = l +2k). Модули этих форм задают отображение пространства R в положительныйортант S = m-мерноговещественногопространства R , m = l+k.Rm + При этом целочисленная решётка Z в R отображается в некоторое множество Z в S. Замыкание выпуклой оболочки H множества Z\0 является многогранным множеством. Целочисленные точки из R , отображающиеся на границу ∂H многогранника H, дают наилучшие диофантовы приближения к совокупности корневых подпространств m заданных форм. В алгебраическом случае, когда заданные формы определённым образом связаны с корнями многочлена степени n, доказывается, что многогранникH имеетm-1независимыйпериод.ЭтообобщениетеоремыЛагранжа о периодичности цепной дроби квадратичной иррациональности. По теореме Дирихле соответствующее поле алгебраических чисел имеет ровно m -1 фундаментальных единиц. Граница ∂H многогранника H вычисляется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.

Классическая теорема М. Лазара (см. [1]) о структуре кольца коэффициентов универсальной формальной группы является ключевым результатомтеорииодномерныхформальныхгрупп.Открытиеформальной группы геометрических кобордизмов([2],[3])и теорема Д. Квиллена([4]) о том, что её можно отождествить с универсальной формальной группой, позволили ввести теорию формальных групп в аппарат алгебраической топологии, включая аппарат теории родов Хирцебруха. Широко известнообязанное этомуфундаментальное взаимопроникновение методов ирезультатов алгебраической топологии(см.[5]), алгебраической геометрии, теории функциональных уравнений и математической физики. Важные приложения в алгебраической топологии нашли результаты теории эллиптических функций и функций Бейкера-Ахиезера, играющие фундаментальную роль в современной теории интегрируемых систем. Актуальным стало построение универсальных формальных групп заданного вида, экспоненты которых задаются этими функциями. Известные результаты в этом направлении используют как классические, так и полученные недавно, теоремы сложения, определяющие вид формальных групп. В настоящей работе решена давно стоявшая задача: найден вид универсальной формальной группы, экспонентой которой является эллиптическаяфункцияуровня3.Полученырезультаты окольцекоэффициентов этой группы, описаны её связи с известными универсальными формальными группами.

В данной работе рассмотрены проблемы, связанные с построением и исследованием конусов и многогранников конечных квази-метрик, которые являются несимметричными аналогами классических метрик. Во введении рассмотрена история вопроса, приведены примеры использования метрик и квазиметрик в математике и ее приложениях, в том числе задачи, связанные с проблемой максимального разреза. В первом разделе даны определения конечных метрики и полуметрики, а также их важнейших частных случаев: разреза, мультиразреза и гиперсемиметрики; построены конусы имногогранники указанных объектов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи конуса разрезов с метрическими l1-пространствами. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов, которые состоят из перестановок и так называемых свичингов; именно преобразование свичинга служит основанием для выбора неравенств, определяющих соответствующий многогранник. Во втором разделе рассмотрены конечные квази-метрики и квази-полуметрики, которые являются несимметричным аналогом конечных метик и полуметрик; даны определения ориентированного разреза и ориентированного мультиразреза - важнейших частных случаев квази-полуметрики; введены понятия взвешиваемой квази-метрики и родственной ей частичной метрики; построены конусы и многогранники указанных объектов; исследованы их свойства. Рассмотрены связи ориентированных разрезов с кази-метрическим l1-пространством. Особое внимание уделено симметриямпостроенныхконусов,которыесостоятизперестановокиориентированных свичингов; как и в симметричном случае, преобразование ориентированного свичинга служит основанием для выбора неравенств, определяющихсоответствующиймногогранник.Рассмотренырезныеподходы к построению конуса и многогранника несимметричных гиперполуметрик. Впоследнемразделепредставленырезультатывычислений,посвященныхконусам имногогранникам квази-полуметрик, ориентированных разрезов,ориентировнныхмультиразрезов,взвешиваемыхквази-метрикичастичныхметрикна 3, 4, 5 и6 точках.Указаныразмерностьобъекта,число экстремальных лучей(вершин)и их орбит, числогиперграней иих орбит, диаметрыскелетонаиреберногографапостроенныхконусовимногогранников.

Пусть r(i, X )- количество точек орбиты длины i относительно вращения Sα : T -→ T окружности единичной длины T = R/Z на угол α, попавших в X , и пусть δ(i, X )= r(i, X )-i|X |- отклонение функции распределения r(i, X ) от ее среднего значения i|X |, где |X |означает длину X . В 1921 г. Э. Гекке доказал теорему: если X имеет длину |X |= hα + b, где h ∈ N, b ∈ Z, то для отклонения δ(i, X ) выполняется неравенство |δ(i, X )|� h для всех i =0, 1, 2,... В 1981 г. И. Орен перенес результат Гекке на конечные объединения интервалов X идля таких множеств получил оценку δ(i, X )= O(1)при i →∞. В общем случае, если X принадлежит d-мерному тору T = R /Z и для него выполняется условие δ(i, X )= O(1)при i →∞, то X называется множеством ограниченного остатка. Глобальный подход к поиску множеств ограниченного остатка предложен В. Г. Журавлевым, при котором вместо отдельных множеств X на k тореT рассматриваютсяполныеразбиенияторовT = X ⊔X ⊔...⊔X c,λ s с некоторыми параметрами c, λ. Основная идея состояла в том, чтобы определить подъем тора T в накрывающее пространство R так, чтобы повороту тора Sα отвечало перекладывание Sv некоторых множеств ′′′ ′ X ,X ,...,X изR .Есличислотакихмножеств X окажетсяs+1 � d+1,sk ′ то каждый из образов X = π(X ) на торе T будет BR-множеством, а kk′′ ′ соответствующее объединение T = X ⊔ X ⊔ ... ⊔ X из R - ториc,λ 01 s ческой разверткой для T . Такие развертки T были сконструированы с помощью перекладывающихся параллелоэдров - многогранников, трансляционно разбивающих пространство R . Указанные параллелоэдры получаются сложением по Минковскому d-мерного единичного куба C и отрезков. В 2012 г. В. Г. Журавлевым по указанной схеме были построены простейшиемногомерныемножества ограниченногоостатка X = P ,являющиеся d-мерными многогранниками: параллелепипедами или выпуклыми параллелоэдрами с числом вершин ♯V (P )=2 -2. Для размерностей d =1 и 2 это будут соответственно множества, содержащие отрезки Гекке Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 14-01-00360. и шестиугольники с попарно параллельными равными сторонами, а для d =3, 4 - параллелоэдры Вороного, среди которых содержится, например, ромбический додекаэдр Федорова. В настоящей работе с помощью разбиений многомерных торов строятся множества ограниченного остатка, представляющие собою конечные объединения выпуклых многогранников. Для отклонений распределения точек орбит относительно сдвигов тора по указанным множествам доказывается многомерный вариант теоремы Гекке о распределении дробных долей на окружности.

Вданнойстатье описывается алгоритм решенияполиномиальных уравнений в кольце D[x], где D - произвольный порядок поля Q(ω),а ω - целое алгебраическое число. Предложенный алгоритм является развитием идеи Курта Гензеля, описанной им в 1904 году и впоследствии названной леммой Гензеля о подъеме решения полиномиального сравнения. Описываемый алгоритм основан на следующих теоретических результатах. Вопервых, оцениваются коэффициенты разложения по базису порядка D решений уравнения, то есть выводится оценка на высоту решения полиномиального уравнения впроизвольном порядкеполяалгебраических чисел. Во-вторых, выписывается итерационная формула, не содержащая в себеделений,позволяющаяпроизвестиквадратичныйподъемрешениясоответствующего сравнения по модулю степени простого числа в порядке. В-третьих, подбирается эффективная оценка на степень простого числа, до которой следует поднимать решение вышеуказанного сравнения для получения точного решения исходного уравнения. Следует заметить, что для корректной работы алгоритма требуется выбрать простое число p, по которому будет производиться подъем, так, чтобывыполнялисьопределенные условия.Аименно, p недолжноделить норму результанта исходного многочлена и его производной и дискриминант целого алгебраического числа ω. Также вычислительная сложность алгоритма уменьшается, если удается подобрать простое число p,которое в дополнение к двум условиям, изложенным в предыдущем предложении, обладает тем свойством, что минимальный многочлен алгебраического числа ω, все коэффициенты которого редуцированы по модулю p, неприводим в конечном поле из p элементов. В этом случае вычислитель4ная сложность алгоритма составляет O(m+ m lnm ln(max0�i�m γi )+ m ln(max0�i�m γi )lnln(max0�i�m γi ) арифметических операций. Здесь m - степень исходного многочлена, γi, 0 � i � m - его коэффициенты, а γ - максимум модулей всех чисел, сопряженных с γ. В том же случае, когда не удается выбрать простое число p так, чтобы минимальный многочлен ω был неприводим в конечном поле из p элементов, вычислитель4ная сложность алгоритма составляет O(m+ m lnm ln(max0�i�m γi )+ m ln(max0�i�m γi )lnln(max0�i�m γi )+m lnln(max0�i�m γi ))арифметических операций. Здесь d - количество неприводимых сомножителей, на которые раскладывается минимальный многочлен числа ω в Fp. Алгоритм, изложенный в статье, включает в себя стратегию выбора простого числа p для достижения меньшей вычислительной сложности.

В данной работе рассматривается задача об отыскании пороговых вероятностей для реализации случайного графа геометрическим графом в пространстве R . В случае графов диаметров доказывается асимптотика для пороговой вероятности на плоскости, а также точное по порядку выражение для d � 3.

В случае L-функций Дирихле с числовыми характерами разработан алгоритм определения нетривиальных нулей таких L-функций, в основе которого лежит построение полиномов Дирихле, приближающих Lфункциювлюбомпрямоугольнике,расположенномвкритическойполосе, с показательной скоростью. Для L-функций Дирихлечисловых полейпоследнийрезультат неимеет места, так как в противном случае степенной ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле, определённый L-функцией, сходился бы к функции, голоморфной в точке 1. Но известно, что такой степенной ряд в случае числового поля, отличного от поля рациональных чисел, аналитически непродолжим за границу сходимости. В связи с этим требуется разработать новую вычислительную схему определения нетривиальных нулей L-функций числовых полей. Изучениюю этой задачи и посвящена данная работа. Показано, что существует последовательность полиномов Дирихле, приближающих в любом прямоугольнике, расположенном в критической полосе, L-функциюДирихле числового полясоскоростью, превосходящей любую степенную функцию. В случае разложения L-функции Дирихле числового поля в произведение классических L-функций Дирихле указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов Дирихле, нули которых в заданном прямоугольнике совпадают с нулями L-функции. Также обсуждаются вопросы, связанные с явной конструкцией таких полиномов Дирихле в случае произвольных L-функций Дирихле.

В работе приводится обзор результатов(с разной степенью подробности) по трём различным направлениям. Основное центральное направление относится к рекуррентным последовательностям, прежде всего к их базисным (в различном понимании) множествам. Другое направление связано с новыми комбинаторными объектами - (v, k1,k2)-конфигурациями, возникающими на пути ослабления условий, определяющих известные комбинаторные объекты - (v, k, λ)-конфигурации. Третье направление имеет дело с инвариантными дифференциалами высших порядков от нескольких гладких функций одной вещественной переменной. В каждой из этих тем рассматриваемые вопросы связаны с комбинаторными конфигурациями в виде конечных плоскостей, а приводимые результаты получены благодаря однотипным представлениям точек соответствующих конфигураций точками многомерных локально евклидовых пространств.Вслучаеинвариантныхдифференциалов этипредставления возникают естественно, а в случае рекуррентных последовательностей и (v, k1,k2)-конфигураций вводятся по аналогии, но уже искусственным образом.

При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым вматематике алгебраическим приемомявляется выделение классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейныхалгебрнаднекоторым полем,вкоторых выполнен фиксированныйнабортождественных соотношений,А.И.Мальцевназвалмногообразиемлинейныхалгебрнадзаданнымполем.Существуеттакоепонятиекак рост многообразия. В математическом анализе принято различать полиномиальныйилистепенной,экспоненциальныйилипоказательныйрост.В даннойработе речьпойдет освойствах некоторых многообразий вразных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики, имеющих почти полиномиальный рост, то есть таких многообразий, рост которых неявляетсяполиномиальным,норостлюбогособственногоподмногообразияполиномиален. Статья носит обзорныйхарактеринесодержит новых результатов. Один из разделов статьи посвящен описанию основных свойств ассоциативных, лиевых многообразий имногообразий алгебрЛейбница почти полиномиального роста над полем нулевой характеристики. В случае ассоциативных алгебр таких многообразий всего два. В классе алгебр Ли четыре многообразия исчерпывают весь набор разрешимых лиевых многообразий почти полиномиального роста, а одно многообразие является неразрешимым и вопрос о его единственности до сих пор остается открытым. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий почти полиномиального роста. Пять из них это упомянутые многообразия алгебр Ли, которые также являются многообразиями алгебр Лейбница. Оставшиеся четыре это многообразия по свойствам схожие с разрешимыми лиевыми многообразиями почти полиномиального роста. Следующие два раздела мы посвятим описанию давно известных, а также полученных недавно характеристик двух лиевых многообразий почтиполиномиальногороста.Водномизразделовречьпойдетонайденной нами кодлине многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2, которую образует множество всех матриц второго порядка со следом равным нулю над основным полем относительно операции коммутирования. Далее будет описан базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом. Здесь же мы представим явные формулы для вычисления его кодлин и коразмерностей. Последний раздел будет посвящен описанию базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством x1(x2x3)(x4x5)≡ 0.

Работа содержит первое исследование тетраэдров гиперболического пространства bH3 положительной кривизны. Пространство bH3 реализуется на внешней относительно овальной ги- перквадрики области проективного трехмерного пространства, т. е. на иде- альной области пространства Лобачевского. Все прямые пространства bH3 по наличию общих точек с абсолютом могут быть эллиптическими, параболическими или гиперболическими. В зависимости от положения по отношению к абсолюту все плоскости про- странства bH3 относятся к трем типам: эллиптические, коевклидовы и ги- перболические плоскости положительной кривизны. Углы эллиптической плоскости одного типа, плоскости коевклидовой трех типов, а гипербо- лической плоскости положительной кривизны пятнадцати типов. Также к пятнадцати типам относятся все двугранные углы пространства bH3. Всевозможные наборы типов граней определяют в пространстве bH3 пятнадцать типов тетраэдров. В работе проведена классификация тетра- эдров с негиперболическими гранями. Все такие тетраэдры относятся к пяти типам. Доказано, что каждое ребро тетраэдра с негиперболически- ми гранями принадлежит эллиптической, замкнутой в пространстве bH3, прямой. В дальнейшей классификации тетраэдров с негиперболическими гра- нями используем понятие α-грани тетраэдра. С каждой точкой простран- ства bH3 связан конус касательных к абсолютной овальной гиперквадрике, названный световым конусом точки. Световой линией грани тетраэдра на- звана линия пересечения плоскости, содержащей данную грань, со свето- вым конусом противоположной к данной грани вершины тетраэдра. Грань тетраэдра пространства bH3 названа α-гранью, если она содержит пол- ностью свою световую линию. Доказана теорема о количестве α-граней:

Рассматриваются связанныессимметриейсвойствазамкнутыхвыпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных(платоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направление обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника. Выпуклыймногогранникназываетсясимметричным,еслионимеетхотя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранникапересекаютсяводнойточке,котораяназываетсяцентроммногогранника. Всерассматриваемыевработемногогранникиявляютсямногогранниками с центром. Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные иммногогранники,сильносимметричныеотносительновращениямногогранных углов [9] - [15]. Интересно отметить, что среди сильно симметричных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым,илиравноугольно полуправильным многогранникам. По определению, свойство сильной симметричности многогранника требуетглобальнойсимметричностимногогранникаотносительнокаждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому представляетинтереснахождение болееслабыхусловийсимметрии наэлементы многогранника. Дано новое доказательство локального критерия сильной симметричности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последовательных вращений. Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих понятие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами. Доказано, чтокаждыймногогранниксизолированными несимметричными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно вращенияграней;акаждыймногогранниксизолированныминесимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно вращениягранеймногогранника.Приэтомвкаждомизэтихклассовсуществует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых бипирамид.

В работе изложены основы теории арифметических сумм и осцилляторныхинтеграловотмногочленовБернулли,аргументвкоторыхявляется вещественной функцией с определенными дифференциальными свойствами. Проводится аналогия с методом тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Вовведенииприведенызадачитеориичиселиматематического анализа, которые имеют дело с изучением указанных выше сумм и интегралов. Исследование арифметических сумм существенно использует функциональное уравнение типа теоремы Гаусса умножения для гамма-функции Эйлера. Получены оценки индивидуальных арифметических сумм, найдены показатели сходимости их средних значений. В частности, решаются аналоги проблем Хуа Ло-кена для одномерных сумм и интегралов.

В этой работе мы приводим аналоги наших многочисленных результатов о следах и дистанциях в аналитических функциональных пространствахвC ,полученныхранее,втерминах интеграловиядерМартинелли - Бохнера. Это первые результаты такого типа в терминах этих интеграловиядер.Такженамибудутобсуждатьсянекоторыеновыеутверждения для интегралов типа Мартинелли - Бохнера, связанные с классами типа Гельдера и точками Лебега. В последние годы в большом цикле работ первого автора был получен ряд новых точных результатов, связанных со следами и расстояниями в различных функциональных пространствах. Во всех этих работах важную роль играют свойства ядер типа Бергмана и интегральные представления типа Бергмана. В этой статье мы получим некоторые аналоги этих результатов в терминах более общих интегральных представлений и болееобщихядерваналитическихфункциональныхпространствахбольшей размерности. Этотакназываемое интегральное представление Мартинелли - Бохнера и ядра Мартинелли - Бохнера в C . Наша работа состоит из трех частей. В первой части мы обобщаем полученные ранее результаты по следам. Во второй части мы получаем оценки функции расстояния в терминах ядер Мартинелли - Бохнера и интегралов Мартинелли - Бохнера. В третьей части представлены результаты для интегралов Мартинелли - Бохнера, связанные с классами ГельдераиточкамиЛебега.Этивопросыестественновозникаютизнедавней серии работ первого автора о многофункциональных аналитических пространствах и связанными с ними вопросами. Наши доказательтсва модифицируют методы и рассуждения известных ранее результатов и теорем для случая интегралов и ядер типа Мартинелли - Бохнера.

Исследуются рациональные и иррациональные вращения для множества рациональных направлений в плоской точечной решетке. Доказано, что в случае рациональных вращений порядок некристаллографического поворота может быть равен только 8 или 12. Множество рациональных направлений в прямоугольной точечной решетке с метрической квадратичной формой x + λ y и в произвольной ее центрировке обладает иррациональным вращением, если и только если число λ рационально.

При решении геометрических задач, написании пособий и книг по геометрии для средней школы и вуза приходится заниматься техническим рисованием. И даже если чертеж представляется совсем ясно и четко, для многих людей перенос его из "головы" на бумагу является довольно непростым делом. Помочь в этом могут разнообразные графические редакторы,например, GeoGebra -свободно распространяемая графическая и вычислительная система для изучения и преподавания математики в школах. Но существует и иной подход. Геометрические чертежи можно создавать, используя систему T ikZ [2], являющуюся пакетом расширений T X/LAT X. С помощью TikZ, не выходя из LAT X, и не прибегая к сторонним графическим редакторам, легко пишется код для вывода как простых, так и весьма сложных схем, диаграмм, графиков и геометрических чертежей. Впредлагаемой статьеобсуждаютсяхарактерные особенности написания фрагментов кода T ikZ для вывода чертежей при решении типовых задач планиметрии, связанных с замечательными точками в треугольнике. А именно, при создании геометрических чертежей часто по тем или иным данным приходится вычислять и выводить замечательные точки треугольников, к которым относятся: "центроид (центр масс, центр тяжести)" - точка пересечения медиан, "ортоцентр" - точка пересечения высот, "центр описанной окружности" - точка пересечения "серединных" перпендикуляров (перпендикуляров к серединам сторон треугольника), "инцентр" - центрвписаннойокружности,являющийсяточкойпересечения биссектрис. Ниже показывается, каквычисляются ивыводятся эти точки с помощью tikz-кода. Рассмотрены также коды для решения ряда вспомогательных задач таких, как проведение: биссектриссы угла; прямой, проходящей через заданную точку параллельно другой прямой; окружности с центром в конкретной точке, касающейся заданной прямой и т. п.

В настоящей работе устанавливается соответствие между пространственной и временн´oй инверсией и переходом от одной инерциальной системы отсчета(ИСО) к другой в рамках специальной теории относительности. Выясняется, что если происходят два события, то при переходе от одной ИСО к другой возможен как вариант, когда их последовательность во времени одинакова в обеих ИСО, так и вариант, когда их последовательность взаимно противоположна в этих ИСО. В последнем случае мы говорим о временн´oй инверсии. Получены условия, при которых временн´aя инверсия имеет место. Анализируютсярезультаты,вытекающиеизвведенныхпредставлений. Основнойрезультатзаключаетсявтом,чтовоВселеннойвцеломнетединого направления времени, в ней царит временн´oй хаос. Апотому теряют свой смысл такие понятия, как возраст Вселенной и ряд других. Разумеется, при нерелятивистских скоростях и относительно малых расстоянияхмывозвращаемсякобычномупредставлению ободнонаправленном течении времени. Выкладки и расчеты, приведенные в настоящей работе, основаны на специальнойтеорииотносительности,ипотомупредставляютсянесомненными. Тем не менее, было бы интересно провести эксперимент для проверки временн´oй инверсии. Схема такого эксперимента представляется следующей. Одна ИСО связывается с Землей, другая ИСО - с двумя спутниками, имеющими одинаковую скорость и находящимися на расстоянии друг от друга. Со спутников посылаются сигналы на Землю - сначала с одного, затем с другого. На Земле эти сигналы принимаются в обратной последовательности. Рассчитаны параметры такого эксперимента ипоказано, что он реализуем на сегодняшний момент. В конце работы даны краткие выводы и рассмотрены возможные направления продолжения даннойработы. Однимизтаких направлений является анализ изменений, которые должны быть внесены впредлагаемые представления с учетом неинерциальности реальных объектов Вселенной и гравитационных эффектов.