Чебышевский сборник

Доклад, сделанный на семинаре Б. С. Кашина и С. В. Конягина механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова 9 ноября 2006г.

Доклад,сделанный на семинаре П. М. Груберакафедры математического анализа математического факультета Технического Университета Вены 13 июня 1994г.

В статье авторы ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни выдающегося русского математика, Заслуженного деятеля науки РФ, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, заведующего отделом теории чисел МИАН им. В. А. Стеклова, доктора физико-математических наук Анатолия Алексеевича Карацубыи дать краткий анализ его научной деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие аналитической теории чисел. Достаточно подробно описываютсяисследования профессора А. А. Карацубы и его учеников по аналитической теории чисел, где выделяются, следуя А. А. Карацубе, три основных направления: 1) тригонометрические суммыи тригонометрические интегралы; 2) дзета-функция Римана; 3)характеры Дирихле. А. А. Карацуба, являясь учеником профессора Н. М. Коробова, руководил научной школойинаучным семинаром по аналитической теории чиселв МГУ имени М. В. Ломоносова. Среди его учеников многие защитиликандидатские диссертации, причём семь из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Анатолий Алексеевич опубликовал 158 научных работ, средикоторых 4монографиииодин классический учебник по аналитической теории чисел, был переводчикомряда фундаментальных научных монографий. Являлсячленом редколлегии журнала "Математические заметки" ичленом программныхкомитетовряда международныхконференций по алгебреи теории чисел.

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения - матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных,атакжев задачах восстановления изображений. Если структура общего решенияоднородной части уравнения Ляпуновахорошо изучена,то решениенеоднородного уравнения Сильвестраи,вчастности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеисиспользованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравненийAX-XB =Dи X-AXB = Dтипа Ляпуноваиисследована структура семейства их решений.Встатье А. А. Бойчукаи С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператораL, соответствующегооднородной части уравнений AX -XB = DиX -AXB =D типа Ляпунова. Используятехнику псевдообратных(по Муру-Пенроузу) матриципроекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный операторL, соответствующийоднородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестраи,вчастности, уравнения Ляпуновасиспользованием проекторовипсевдообратных Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований. Номер государственной регистрации 0109U000381. (по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученныхвстатьеА.А. БойчукаиС.А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенныеусловия разрешимости,атакжесхема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.

При изучении линейных алгебрс точки зрения выполняющихсявних тождеств интерес вызывают тождественные соотношения, следствиями которых являетсятождество нильпотентности. Хорошо известны теорема Нагаты-Хигмана,вкоторой утверждается, что над полем нулевойхарактеристики ассоциативная алгебраснильусловием ограниченного индекса является нильпотентной, а также результат Е. И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ливкоторой выполняется тождество энгелевости. Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называют многообразием. Многообразие называется почти нильпотентным, если само оно не является нильпотентным, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Существует понятие как рост многообразий. Различают многообразия полиномиального, экспоненциального, сверхэкспоненциального роста,атакжепромежуточного между полиномиальнымиэкспоненциальным ростом. Подэкспоненциальный рост подразумевает, что многообразие имеет полиномиальный или промежуточный рост. Статья носит реферативный обзорный характер и касается описания почти нильпотентных многообразий в различных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Один из разделов статьи посвящен случаю классических линейных алгебр. В нем представлено единственное ассоциативное почти нильпотентное многообразие, которым является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр.В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие всех метабелевых алгебр Ли. При рассмотрении алгебр Лейбница приведено два примера почти нильпотентных многообразийидоказано, что других нет. Следует отметить, что все представленные в этом разделе примеры сами имеют незначительный полиномиальный рост. В общем случае оказалось, что существуют достаточно экзотические примеры почти нильпотентных многообразий.Вработе описаны свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два, а также доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. Последний раздел статьи посвящен многообразиям подэкспоненциального роста. Здесь представлены описания почти нильпотентных многообразий для многообразийв классах левонильпотентных ступени не выше двух алгебр,коммутативных метабелевыхи антикоммутативных метабелевых линейных алгебр. Как оказалось,вкаждом из этих классов содержится ровно по два почти нильпотентных многообразия.

В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чиселиприложениям”. Целями этойконференции были представление новыхизначимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаныстворчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеямииознакомлениесновыми методамиитенденциямивтеории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.

Встатье даетсярасширенный текст доклада,сделаного автором 30 января2015 годавг. Москве на международнойконференции, посвященной памяти профессора А. А. Карацубы, проходившейв Математическом институте им. В. А. СтекловаРАНи МГУ имени М. В. Ломоносова. Вдокладе были приведены факты из истории развития теории гиперболической дзета-функции, даны определенияи обозначения. Основное содержание доклада было сосредоточено на обсуждении актуальных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. 1.Были выделены следующие перспективные направления современных исследований: 2.Проблема правильного порядка убывания гиперболической дзета-функции при α → ∞; 3.Проблема существования аналитического продолжения в левую полуплоскость α = σ + it (σ≤ 1) гиперболической дзета-функции решётки ζΗ (Ʌ|α) ; 4. Аналитическое продолжение для случая решёток С. М. Воронина Ʌ (F,q); 5.Аналитическое продолжение для случая решётки совместных приближений; Аналитическое продолжение для случая алгебраической решётки Ʌ(t,F)=tɅ(F); 6.Аналитическое продолжение для случая произвольной решётки Ʌ; 7.Проблема поведения гиперболической дзета-функции решётки ζΗ (Ʌ|α) в критической полосе; 8.Проблема значений тригонометрических сумм сеток. В качестве перспективного метода исследования перечисленных проблем был выделен подход, основанный на изучении возможности предельного перехода посходящейся последовательности декартовых решёток.

До недавнего времени дажедля алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадаютв произвольный промежутокв зависимости от его положенияи длины. Пусть An - множество алгебраических чисел степени n,а H(�) - обычная высота алгебраического числа �, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводитсякисследованию следующей функции: �n(Q, x) := # {� ⇐ An � R : H(�) � Q, �

В1975г. С. М. Воронин доказал универсальностьL-функций Дирихле L(s, π), s = κ + it. Это означает, что для всякого компакта K полосы 1{s ⇐ C : 0,...,hr > 0. Настоящая статья посвящена приближению сдвигами L(s + ikh1,π1), ...,L(s + ikhr ,πr ),L(s + ikh, πr +1), ...,L(s + ikh, πr), с различными h1,...,hr ,h. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел для множества {L(h1,...,hr ,h; θ)= (h1 log p : p ⇐P),..., (hr log p : p ⇐P),}(h log p : p ⇐P); θ, где P - множество всех простых чисел.

В 1975г. российский математик С. М. Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана ζ(s), s = σ+it. Грубо говоря, это означает, что широкого класса аналитические функции могут быть приближены равномерно на компактных подмножествах полоса {s ∈ C : 1/2 ˂σ ˂1} сдвигами ζ(s + iτ ), τ ∈ R. Позже оказалось, что и многие другие классические дзета и L-функции также обладают универсальностью в смысле Воронина. Кроме того, некоторые дзета и L-функции имеют совместное свойство универсальности. В этом случае, данный набор аналитических функций одновременно приближается сдвигами дзета или L-функций. В статье мы даем рассширенный текст нашего доклада, прочитанного на конференции, посвященной памяти известного числовика профессора А. А. Карацубы. Статья содержит обзор основных результатов о так называемой смешанной совместной универсальности, начало которой было было дано японским математиком Г. Мишу в 2007, доказавшим совместную универсальность дзета-функций Римана и Гурвица.В широком смысле смешанная совмесная универсальность понимается как совмесная универсальность дзетаи L-функций, имеющих эйлеровское произведение по простым числами не имеющих такого произведения. В 1989г.А. Сельберг ввел замечательный классS рядов Дирихле,удовлетворяющих некоторым натуральным условиям, включая эйлеровское прозведение. Периодические дзета-функции Гурвица являютс яобобщением классических дзета-функций Гурвица и не имеют эйлеровного произведения.Встатье формулируется новая теорема о смешанной совместной универсальности для L-функций из класса Сельберга и периодических дзета-функций Гурвица. Для доказательства может быть применен вероятностный метод.

Доказана асимптотическая формулав обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степенейспочти равными слагаемымиопредставлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простыхи целой части нецелой степени натурального числа.

Исследуются арифметические свойства полиадических чисел, то есть рядов вида ∑_(n=0)^∞〖a_n×n!〗 где числа a ∈ Z. Рассматривается понятие бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел. Доказана теорема о бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел из класса F (Q;C1;C2;C3; d0), если они связаны системой линейных дифференциальных уравнений определенного вида.

Воспоминания Алексея Дмитриевича Надёжина позволяют читателям лучше узнать личность замечательного ученого и человека - Анатолия Алексеевича Карацубы. Они позволяют окунуться в неповторимый мир горных восхождений, которые оказывают неизгладимое влияние на формировании личности человека.

В работес новой точки зрения рассматривается известное дискретное преобразование - зеркальное отражение (иначе - зеркальное преобразование). Если существует зеркальная симметрия, то она ведетк сохранению P-четности (пространственной четности)в физических явлениях. До сих пор зеркальная симметрия неподвергалась сомнению - при отражениив зеркале правоеилевое менялись местами,авостальном исходный объект и его отражение были совершенно идентичны. Внастоящей работе показано, что этаочевидная на первый взгляд ситуация в общем случае не соответствует реальности. Дело в следующем. В подавляющем большинстве случаев реальная экспериментальная ситуация описываетсявекторами, причем почти всегда имеет место сочетание истинных векторов (иначе - полярных векторов)ипсевдовекторов (иначе - аксиальных векторов). Векторы этих двух типов ведут себяпо-разному при зеркальном отражении, при этомвцелом отражениевзеркале оказываетсянесимметричным исходному объекту. Это относитсякаккоднократному зеркальному преобразованию,такикпространственной инверсии,которая эквивалентна последовательному зеркальному отражению в трех взаимноперпендикулярных зеркалах. Оба этих варианта детально рассмотрены в настоящей работе. Всвое время несохранениеP-четности, открытоев 1956 году, вызвало шоквфизическом мире. Быласделана попыткаввести вместо P-четности комбинированнуюCP-четность.Ноэтотакжене привелокуспеху,таккак иэтачетность,как показал эксперимент не сохраняетсявраспадекаонов. Вопросоприроде несохранения четности до сих пор (ужеболее полувека) не имеетудовлетворительного общепринятого решения. Мы полагаем, что настоящая работа как раз дает такое решение, и оно связано с несимметричностью зеркального отражения. Более того, мы считаем, что вполне возможно несохранение P-четности не только в физических процессах, обусловленных слабым взаимодействием, но и в процессах, обусловленных другими видами взаимодействий - электромагнитным, сильным. Таким образом,в настоящей статье освещается новый аспект взаимосвязи свойств пространстваи физических явлений.

Авторыстатьиставили перед собойдвеглавныезадачи:охарактеризовать основные этапы жизни профессора Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого Владимира Николаевича Безверхнегоидать краткий анализ егонаучнойипедагогической деятельности, имеюшей значительное влияниена развитиекомбинаторной теории групп. Особо отмечаются исследования профессора В. Н. Безверхнего и его учеников по алгоритмическим проблемам теории группи полугрупп. В. Н. Безверхний, являясь учеником профессора М. Д. Гриндлингера, руководит научной школойинаучным семинаром "Алгоритмические проблемы теории группи полугрупп", семинаром "Основы теории групп", аспирантурой покомбинаторной теории групп. Среди его учеников 7 человек защитили кандидатские диссертации, причёмодин из них впоследствии стал доктором физико-математических наук. Владимир Николаевич Безверхний имеет более 170 научныхиметодических работ.Реферирует статьивРеферативном ЖурналеиMathematical Review. Является членом редколлегии журнала "Чебышевский сборник", постоянным членом программныхкомитетов Международныхконференцийпо алгебреитеории чисел, проводимыхТульским государственным педагогическим университетом им. Л. Н.Толстого.

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни доцента, заведующего кафедрой физикоматематического факультета Тульского государственного педагогического института им. Л. Н.Толстого Владимира Дмитривича Подсыпанинаи дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имеющей значительное влияние на становление Тульской научной теоретикочисловой школы. Особо отмечаютсяисследования доцентаВ.Д.Подсыпанинаиегоучеников по алгебраической теории чисели диофантову анализу. В. Д. Подсыпанин, являясь учеником член-корреспондентаАН СССР, профессора Д. К. Фаддеева, руководил научной школойинаучным семинаром по теории чиселв ТГПИ им. Л. Н.Толстого. Среди его учеников многие защитиликандидатские диссертации. Владимир Дмитриевич Подсыпанин имеет глубокие, содержательные научные работы. Причем основная его работа была опубликована только через 42 года после его смерти. Он активно работалвРеферативном журнале Математика со дня основания журнала до своей смерти.

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни профессора Московского педагогического государственного университета Василия Ильича Нечаеваи дать краткий анализ его научнойипедагогической деятельности, оказавшей значительное влияниена развитиевобласти теории чиселиметодики преподавания математикив педагогических вузах. Особо отмечаются исследования профессора В. И. Нечаеваи его учеников по аналитической теории чисели её приложениям. В. И. Нечаев, являясь учеником профессора М. К. Гребенчи, руководил научной школой и научным семинаром по аналитической теории чиселв МПГУ. Среди его учеников многие защитиликандидатские диссертации, причёмодин из них впоследствии стал доктором педагогических наук. Василий Ильич Нечаев опубликовал большое количество научных и методических работ, был переводчиком ряда фундаментальных научных монографий. Являлсячленом редколлегии журнала "Математические заметки" и членом программных комитетов ряда международных конференций по алгебре и теории чисел, в том числе проводимых Тульским государственным педагогическим университетом им. Л. Н.Толстого.