Актуальность и цели. Цель работы - исследование дифракции электромагнитной ТЕ-волны на одномерной цилиндрической дифракционной решетке. Материалы и методы. Задача рассматривается в полной электродинамической постановке, для ее решения применяется метод плоских волн; для численного решения вспомогательной полной проблемы собственных значений применяется метод вращений Якоби. Результаты. Метод плоских волн программно реализован, проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие сходимость и устойчивость метода. Выводы. Результаты вычислительных экспериментов согласуются как с известными теоретическими результатами исследования задачи, так и опубликованными в работах других авторов результатами численного анализа. Описанный численный метод является эффективным и может применяться для решения задач моделирования одномерно-периодических решеток с заданными характеристиками.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2020. — Выпуск 3
Содержание:
Актуальность и цели. Работа посвящена динамике системы дифференциальных уравнений с диффузионным взаимодействием и дополнительной внутренней связью с кубической нелинейностью. Актуальность исследований такой системы обусловлена тем, что незначительное изменение коэффициента дополнительной связи позволяет получить сложные сценарии поведения устойчивых состояний равновесия. Для рассматриваемой системы были найдены критические зависимости, при которых нулевое состояние равновесия теряет свою устойчивость с появлением двух пространственно неоднородных состояний в одном случае и цикла в другом. При значениях параметров, близких к критическим, были получены асимптотические формулы для режимов, ответвляющихся от нулевого решения. Материалы и методы. Для задачи в комплексе применялись аналитические и численные методы решения. При численном исследовании особое внимание уделялось значениям параметров, при которых нулевое решение системы дифференциальных уравнений теряет свою устойчивость. Результаты. Были выявлены критические зависимости параметров, при которых происходят бифуркации нулевого состояния равновесия. При значениях параметров, близких к критическим, была построена нормальная форма и на ее основе были определены условия появления неоднородных состояний равновесия в одном случае и цикла - в другом. Выводы. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач численного моделирования некоторых биофизических процессов. Вызывает также интерес распространение этих результатов и на другие системы дифференциальных уравнений с дополнительной внутренней связью.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Цель исследования - разработка численного метода для решения задачи дифракции электромагнитных волн на двумерной периодической дифракционной решетке. Материалы и методы. Применяется модифицированный метод разделения переменных в области неоднородности для решения задачи дифракции электромагнитных волн на двумерной периодической дифракционной решетке. Результаты. Представлен модифицированный метод разделения переменных в области неоднородности для решения задачи дифракции электромагнитных волн на двумерной периодической дифракционной решетке. Выводы. Предложенный численный метод является эффективным средством для решения задачи дифракции электромагнитных волн на двумерной периодической дифракционной решетке.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Изучение преобразований Бэклунда является одной из актуальных тем в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Такие преобразования применяются для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и солитонных. Вместе с этим они представляют собой пример дифференциально-геометрической структуры, порожденной дифференциальными уравнениями. Преобразования Бэклунда дают возможность получить не только пары уравнений, но и решение одного из них, если решение другого известно. Данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами, такими как определение симметрий, наличие гамильтоновой структуры. В последнее время в этой области было проведено много исследований. Цель работы - получение новых преобразований и автопреобразований Бэклунда для обобщенных уравнений Лиувилля с показательно-степенной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от первых производных. Материалы и методы. Рассматривается построение преобразований Бэклунда для нелинейных уравнений в частных производных второго порядка солитонного типа с логарифмической нелинейностью и гиперболической линейной частью. Построение преобразований базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа - Ампера. Результаты. Для исследуемых уравнений с помощью преобразований Бэклунда найдены новые уравнения, которые дают возможность отыскать решения исходных нелинейных уравнений, а также выявить внутренние связи между различными интегрируемыми уравнениями. Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в частности солитонных уравнений. Полученные с помощью дифференциальных связей новые уравнения могут использоваться для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также при решении множества прикладных задач в физике и технике.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Нахождение точных решений нелинейных уравнений в частных производных - одна из основных задач теории нелинейных систем. Для интегрируемых систем разработан ряд методов, но в силу сложности различных нелинейных уравнений не существует единого способа и приема их решения. Один из эффективных методов - применение дифференциальных связей Бэклунда для построения точных решений нелинейных уравнений. Преобразования Бэклунда дают возможность перейти к более простому уравнению, а применение дифференциальных связей - получить решение одного из уравнений, если решение другого известно. Кроме этого, данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами. В последнее время в этой области было проведено множество исследований. Цель работы - получение решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных второго порядка с помощью дифференциальных связей Бэклунда. Материалы и методы. Рассматривается нахождение решений нелинейных дифференциальных уравнений с применением дифференциальных связей Бэклунда. Построение преобразований Бэклунда базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа - Ампера. Результаты. Для исследуемых в работе нелинейных гиперболических уравнений в частных производных получены точные решения с помощью дифференциальных связей Бэклунда; доказано получение решений одного из уравнений, если решение другого известно; проанализированы различные случаи получения решений данным методом. Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Найденные решения могут послужить основой для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также для решения прикладных задач в различных областях естествознания.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Теория решения обратных задач математической физики является одним из наиболее активно развивающихся разделов современной математики. Интерес исследователей к таким задачам обусловлен в первую очередь большим количеством их приложений, появившихся в последние годы в связи с бурным развитием физики и техники. Несмотря на большое количество методов решения обратных задач, в настоящее время по-прежнему велика потребность в дальнейшей разработке новых методов решения, учитывающих некорректность ряда обратных задач. В данной работе предлагаются численные методы решения одного класса обратных задач, а именно задач восстановления начальных условий для уравнений параболического и гиперболического типов. Материалы и методы. Методика построения численных методов решения задач восстановления начальных условий для линейных параболических и гиперболических уравнений заключается в следующем. По известным формулам обобщенного решения линейных параболических и гиперболических уравнений выполняется переход к эквивалентным исходным задачам линейным интегральным уравнениям первого рода, которые затем решаются приближенно при помощи непрерывного операторного метода. Для этого составляется и решается вспомогательная система линейных дифференциальных уравнений, которая затем решается численным методом Эйлера. При этом на численных примерах показывается, что за счет подходящего числа шагов метода Эйлера может быть достигнута (в случае необходимости) регуляризация решения задачи. Сходимость метода обосновывается в терминах теории устойчивости решения дифференциальных уравнений. Результаты. Построены численные методы приближенного решения задачи о восстановлении начального условия для линейных параболических и гиперболических уравнений. Авторам удалось успешно применить непрерывный операторный метод к решению вышеупомянутой задачи. Решение ряда модельных примеров показало эффективность предложенных результатов. Выводы. Предложены эффективные численные методы решения одного класса обратных задач математической физики, а именно задачи восстановления начального условия в задачах Коши для линейных уравнений гиперболического и параболического типов. На численных примерах показано, что непрерывный операторный метод с успехом может быть применен к решению указанных типов обратных задач математической физики.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Интегрируемые дискретные уравнения чаще всего рассматривают в рамках численного исследования своих непрерывных аналогов. В то же время непрерывные уравнения получены с помощью предельного перехода от дискретных систем. Во многих отношениях дискретная картина оказывается более исследуемой и фундаментальной нежели дифференциальная. Разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Дискретные уравнения часто рассматриваются как преобразования Бэклунда непрерывных и дифференциально-разностных уравнений. Построение конечномерных редукций интегрируемых систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. Целью данной работы является построение новых конечномерных редукций для интегрируемой дискретной цепочки типа цепочки Тоды и анализ интегрируемости полученных конечномерных редукций. Материалы и методы. Одним из признаков интегрируемости системы уравнений является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (L-A пара). Именно на этом свойстве интегрируемой дискретной системы основано построение граничных условий и интегралов движения полученных конечномерных редукций. В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты. Найдена новая конечномерная редукция дискретной цепочки типа цепочки Тоды, совместимая с L-A парой. Построены интегралы движения, определена дифференциально-разностная симметрия полученной конечномерной системы и показана ее интегрируемость в квадратурах. Представлены граничные условия, приводящие систему к одной из версий дискретного уравнения Пенлеве dPI . Выводы. Простой и эффективный способ построения интегрируемых конечномерных редукций основан на совместимости граничных условий с L-A парой. Дискретные аналоги уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды. Для построения пары Лакса дискретного уравнения Пенлеве как конечномерной редукции интегрируемой цепочки типа цепочки Тоды необходимо дальнейшее изучение граничных условий совместимых с L-A парой.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Изучение бифуркации в типичных одно- и двухпараметрических семействах кусочно-гладких динамических систем на плоскости представляет значительный интерес как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Этим исследованиям посвящено большое число научных работ. В приложениях часто встречаются динамические системы с симметрией. Однако бифуркации кусочно-гладких систем с симметрией пока изучены мало. Поэтому исследование бифуркаций в типичных семействах таких динамических систем представляется актуальным. Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Основной метод состоит в исследовании поведения функций последования и соответствующих функций расхождения при разных значениях параметров. Результаты. Рассматривается двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости, «сшитых» из гладких векторных полей, заданных, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях. Векторные поля семейства предполагаются инвариантными при преобразовании симметрии относительно начала координат. При нулевых значениях параметров векторное поле имеет орбитно устойчивую периодическую траекторию Г, гомеоморфную «восьмерке», касающуюся в начале координат О оси х и сверху и снизу. В случае общего положения описываются бифуркации в окрестности U контура Г. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности в U векторных полей семейства. Выводы. Описаны типичные двухпараметрические бифуркации в окрестности рассматриваемой периодической траектории.
Ключевые слова
Актуальность и цели . Цель работы - численное исследование задачи распространения вытекающих ТЕ-электромагнитных волн многослойной регулярной волноведущей структуры. Материалы и методы. Для получения численного решения задачи применяется метод пристрелки по параметру. Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи о распространении вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения, проведен ряд численных экспериментов. Вывод. Указанный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Одной из центральных задач в электронике сверхвысоких частот является построение миниатюрных антенн, обладающих высокими характеристиками. Основными уравнениями, используемыми при моделировании проволочных антенн различной конфигурации, являются уравнения Поклингтона, Галлена, сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения. При численном решении уравнений Поклингтона и Галлена в основном используются методы моментов и Галеркина. Так как уравнения Поклингтона и Галлена относятся к классу некорректных задач, то при реализации методов моментов и Галеркина возникают дополнительные трудности, связанные с неустойчивостью вычислительных схем. В данной работе для решения уравнений Поклингтона и Галлена предлагается применить непрерывный метод решения операторных уравнений, обладающий эффектом регуляризации. Этот эффект обусловлен тем, что непрерывный метод решения операторных уравнений построен на основе Ляпуновской теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Материалы и методы. Исследуются приближенные методы решения уравнений Поклингтона и Галлена. Метод построения вычислительных схем заключается в следующем. Исходные уравнения аппроксимируются системой линейных алгебраических уравнений, построенных по технологии метода сплайн-коллокации. Система линейных алгебраических уравнений решается непрерывным операторным методом. В качестве достоинств предложенного метода следует отметить: его устойчивость при возмущении ядер уравнений и правых частей и возможность при построении вычислительной схемы учесть граничные условия на концах вибратора. Результаты. Построены новые устойчивые численные методы решения уравнений Поклингтона и Галлена. Эффективность предложенных методов продемонстрирована решением модельных примеров. Выводы. Предложенный в работе метод построения и обоснования сходимости вычислительных схем может быть распространен на уравнения, моделирующие различные модификации антенн и являющиеся аналогами уравнений типа Поклингтона и Галлена.