Актуальность и цели . Цель работы - теоретическое обоснование численного метода решения задачи рассеяния акустической волны неплоским гладким бесконечно тонким акустически жестким экраном. Материалы и методы . Рассматривается интегродифференциальное уравнение задачи дифракции на экране; оператор уравнения рассматривается как отображение в подходящих пространствах Соболева; для численного решения задачи используется метод Галеркина. Результаты . Доказана сходимость метода Галеркина в задаче дифракции на акустически жестком экране; предложен способ построения базисных функций на неплоских гладких параметризуемых экранах, проведены вычислительные эксперименты. Выводы . Результаты вычислительных экспериментов согласуются с основным теоретическим результатом работы о сходимости методов Галеркина; описанный численный метод является эффективным и может применяться для решения более сложных задач дифракции акустических волн.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2020. — Выпуск 2
Содержание:
Актуальность и цели. Метод интегральных преобразований является одним из важнейших аналитических методов математического моделирования. На его основе разрабатываются численные методы и вычислительные алгоритмы. Свойства изображений косвенным образом отражают свойства оригиналов. Иногда, например для изображений Фурье, эти свойства содержат в себе новую информацию об оригинале. Статья посвящена исследованию логарифмической выпуклости изображения для неотрицательного оригинала. Материалы и методы. Методы информационной геометрии позволили впервые установить свойства интегральных преобразований Фурье исследованием соответствующей информационной матрицы Фишера. В получении результатов были также использованы методы теории интегральных преобразований Лапласа, Меллина, Вейерштрасса и др. Результаты. Найдена формула для информационной матрицы Фишера и тензора деформации для рандомизированных семейств распределений, связанных с интегральными преобразованиями Лапласа, Меллина, Вейерштрасса. Установлена логарифмическая выпуклость изображения для неотрицательного оригинала. Предложено новое доказательство логарифмической выпуклости Гамма-функции и неравенства о моментах распределения. Выводы . Предложенные методы могут быть полезны при изучении специальных функций математической физики, в теории интегралов дробного порядка. Наличие явного выражения информационной матрицы важно для применений в статистике.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Интегральные преобразования функций нескольких переменных - активно развивающееся направление математического анализа. Многочисленные применения метода интегральных преобразований для решения уравнений математической физики при обработке сигналов в технике требуют совершенствования теоретического аппарата интегральных преобразований. В статье предлагается отступить от концепции симметричных интегральных преобразований, т.е. таких, в которых обратное преобразование имеет эрмитово сопряженное ядро к ядру прямого преобразования. В статье найдено разложение функции двух переменных для интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на концентрических окружностях. Аналогичная идея реализована в статье для теории кратных рядов Фурье, когда частоты гармоник группируются по границе квадрата или ромба. Материалы и методы. Представлен вывод интегральных преобразований с неразделенными переменными на основе теоремы разложения. При этом вычисление интегралов по спектральным параметрам осуществляется переходом к полярной системе координат или к ее обобщению. В таком случае интеграл по многообразию размерности ( n - 1) удается вычислить аналитически. Таким образом, в формуле обращения остается один интеграл по полярной оси. Результаты. Сконструированы формулы обращения кратного интеграла Фурье. Их особенность состоит в том, что интегрирование ведется по полярной оси, тогда как в классической формуле обращения интегрирование ведется по многообразию размерности n . Аналогично, в теории кратных рядов Фурье получено разложение в ряд, в котором гармоники сгруппированы определенным образом и затем просуммированы в замкнутом виде. В статье предложены различные способы группировки гармонических компонент кратного ряда Фурье, что позволило получить новые формулы обращения. Выводы. Доказаны новые формулы обращения кратного ряда Фурье и кратного интеграла Фурье; эти формулы могут быть использованы при выводе дискретных аналогов кратных интегралов Фурье с целью их применения при обработке 2D- и 3D-сигналов.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Для обыкновенного дифференциального уравнения Клеро нахождение общего решения не представляет особого труда и подробно описано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме общего решения, представляющего собой семейство линейных функций, для обыкновенного дифференциального уравнения Клеро могут существовать особые (сингулярные) решения, для нахождения которых не существует общих методов. В особенности это касается уравнений Клеро в частных производных. О чем свидетельствует весьма скудный перечень в доступной научной литературе типов уравнений Клеро, для которых особые решения могут быть явно построены. В этом случае представляется актуальной задача писка особых решений уравнений Клеро. Целью данной работы является поиск и исследование особых решений уравнений Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также установление связи между особыми решениями уравнения Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Результаты. Приведены основные понятия и решение уравнений Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Кроме того, выдвинуто предположение о наличии связи между сингулярными решениями уравнения Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частых производных. Выводы. Представлено, что в классе специальных зависимостей правых частей уравнения Клеро в теории уравнений в частных производных существует связь с особыми решениями уравнений Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Число таких решений определяется числом известных особых решений уравнения Клеро в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и их всевозможными комбинациями.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, и построению приближенных методов решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Одними из исключений являются сингулярные и полисингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений и для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Для полисингулярных интегральных уравнений подобная теория еще не построена. Более того, конкретные алгоритмы и приближенные методы решения полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными полисингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве функций, суммируемых в квадрате, вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений. Не менее актуальной является задача построения приближенных методов решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений. Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные полисингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы. Результаты. Построены классы функций, на которых решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка задачи решения вырожденных полисингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения, вырожденных полисингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций. Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные многомерные сингулярные интегральные уравнения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. В теории конечных автоматов существует целый ряд способов определения конечных автоматов (конечно-автоматных функций). Среди них системы канонических уравнений, диаграммы Мура, информационные деревья, схемы из автоматных элементов, а также конечно-автоматные операции. Каждый из перечисленных способов обладает определенными достоинствами и находит применение в подходящих направлениях исследований. Довольно часто конечные автоматы используются в алгебре и логике. Так, например, хорошо известны результаты Дж. Бюхи о связи конечных автоматов с логикой второго порядка, а также результаты С. В. Алёшина по использованию групп конечно-автоматных перестановок в решении ослабленной проблемы Бернсайда. Одно из перспективных направлений в теории конечных автоматов - исследование автоматных уравнений различных типов. Помимо хорошо известных канонических уравнений, здесь могут быть функциональные уравнения, в которых переменными являются конечные автоматы, а связи между ними осуществляются с помощью алгебраических и логических средств. Самым естественным вариантом представляется вариант, когда на основе заданных автоматов и функциональных переменных для (многовходовых) автоматов определяются автоматные термы, затем - равенства термов (элементарные формулы) и в заключение из элементарных формул с помощью логических связок - произвольные логико-автоматные формулы. Для таких формул ставится «классическая» проблема выполнимости. Особенность ее состоит в том, что рассматривается существование конечных автоматов, выполняющих данную формулу, т.е. дающих истинное значение формулы при любых значениях предметных переменных (их значениями являются произвольные сверхслова в алфавите ). Цель работы - доказать алгоритмическую разрешимость данной проблемы, при этом определить разрешающий алгоритм в автоматных терминах и в конечном счете свести задачу к направленному перебору (возможно, частичных и недетерминированных) автоматов. Материалы и методы. В построениях и доказательствах применяются логико-автоматные методы. Результаты и выводы. Рассматриваются логико-автоматные формулы, построенные с помощью логических связок из равенств автоматных термов. Для формул данного типа формулируется проблема выполнимости по функциональным (автоматным) переменным. При этом предполагается, что все предметные переменные (по двоичным сверхсловам) находятся под кванторами общности. Строится алгоритм, основанный на переборе частичных недетерминированных автоматов, который решает данную проблему. Предложенный в работе подход к анализу и решению проблемы выполнимости для конечно-автоматных логических формул может быть использован при решении аналогичных алгоритмических проблем для логико-автоматных формул более сложных типов.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Струйные течения жидкостей и газов применяются в различных областях техники как эффективные средства управления процессами тепло- и массообмена, для интенсификации и стабилизации различных технологических процессов (например процесса размешивания, процесса горения), как средство защиты различных конструкций от воздействия тепловых и других полей, для нанесения покрытий и др. Среди практически важных объектов исследования отметим также горелочные устройства, форсунки двигателей, струйно-вихревые следы летательных аппаратов. Струйные течения применяются во многих отраслях техники и технологии, что делает задачу их исследования актуальной. Целью данной работы является изучение процессов тепломассопереноса в закрученных струях. Материалы и методы. Для решения задачи используется асимптотический метод, предполагающий разложение гидродинамических функций (составляющих вектора скорости и давления) и температуры, удовлетворяющих системе уравнений Навье - Стокса для вязкой несжимаемой жидкости, в ряды по малому параметру. Решение полученной в первом приближении системы дифференциальных уравнений с частными производными отыскивается в автомодельном виде, что приводит к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для функций, зависящих от автомодельной переменной. Результаты. Построено в первом приближении автомодельное решение задачи о распределении гидродинамических (составляющих вектора скорости и давления) и теплового (температуры) полей в осесимметричной тангенциально закрученной струе вязкой несжимаемой жидкости. Представленный в статье материал дополняет известные ранее результаты расчетом теплового поля в струе. Выводы. На основе полученных асимптотических дифференциальных уравнений и автомодельных решений этих уравнений построены поля скоростей, давления и температуры в тангенциально закрученной струе вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что на распределение теплового поля в струе уже в первом приближении оказывают влияние продольная и тангенциальная (вращательная) составляющие скорости. Указан способ уточнения построенного решения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Множества нелинейных уравнений в частных производных, обладающих парой Лакса, являются либо точно интегрируемыми, либо уравнениями, допускающими богатые классы точных решений. Наиболее интересны с практической точки зрения исследования, способствующие развитию новых математических методов анализа нелинейных дифференциальных уравнений, в частности математической теории солитонов, которая имеет огромные перспективы в различных приложениях. Малоисследованным является обширный класс нелинейных многокомпонентных уравнений, имеющих важность прикладного характера. Целью настоящей статьи является анализ такого типа нелинейных уравнений, в частности уравнения трехволнового взаимодействия, а также построение их точных решений. Материалы и методы. Анализ рассматриваемых нелинейных уравнений в частных производных, полученных при помощи операторного уравнения Лакса с дифференциальными операторами первого порядка и матричными коэффициентами третьего порядка, выполняется с помощью замены переменных. Данный метод позволяет классифицировать их по главной линейной части и привести исходные уравнения к более простому, эквивалентному виду, облегчающему дальнейшие исследования. Для отыскания точных решений применяется метод бегущих волн. Результаты. Исследуемые нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с логарифмической нелинейностью относятся к классу уравнений Клейна - Гордона и с помощью замены переменных их линейная часть преобразуется к гиперболическому виду. Найдены интегральные решения исследуемых уравнений в виде бегущих волн и решения, заданные неявно в виде ряда. Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих парой Лакса, и могут использоваться при решении прикладных задач физики и техники. Данные результаты расширяют область возможностей для изучения задач математической теории солитонов и могут послужить основой для дальнейшего исследования и нахождения решений уравнений данного типа.
Ключевые слова
Актуальность и цели. В работе метод функциональных подстановок применяется к матричной системе первого порядка и выводятся соответствующие уравнения волновой динамики. Целью работы является вывод и анализ новой интегрируемой системы взаимодействия волн типа Бюргерса. Материалы и методы . Основным методом, который используется в работе, является метод функциональных подстановок в матричной форме. Общий вид матричных уравнений представлен для произвольной конечной матричной размерности. Детальный анализ уравнений в покомпонентной форме представлен для размерности матриц 2×2. Результаты . Получена новая интегрируемая система взаимодействия волн. Для размерности 2×2 выписаны уравнения в покомпонентной форме. Построена редуцированная система, подобная системе трехволнового взаимодействия. Найден общий вид точных решений для редуцированной системы. Приведены конкретные примеры вещественных несингулярных решений. Выводы . С помощью метода функциональных подстановок найдена новая интегрируемая система взаимодействия волн, полезная для практического использования в прикладных задачах.