Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных сингулярных интегральных уравнений. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Исключением являются сингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что, во-первых, вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений; во-вторых, для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Но конкретные алгоритмы и приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными сингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве L 2 функций суммируемых в квадрате вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений, а также не менее актуальная задача построения приближенных методов их решения. Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы. Результаты . Построены классы функций, на которых решения, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций. Выводы . Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные полисингулярные интегральные уравнения.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2020. — Выпуск 1
Содержание:
Актуальность и цели. Оценка работы каждого сегмента левого желудочка характеризует эффективность сокращения миокарда и фактический сердечный выброс левого желудочка. Целью настоящего исследования является разработка и обоснование новых показателей работы левого желудочка по данным продольной, радиальной и циркулярной деформаций, полученных с помощью 3D-cпекл-эхокардиографии. Материалы и методы. Сегментарные данные были получены с помощью ультразвукового исследования аппаратом «VividTM E95» в 2D- и в 3D-режимах. Для расчета работы отдельных сегментов левого желудочка реализован численный метод. Результаты. В данной работе изучена взаимосвязь между деформационными характеристиками левого желудочка и его объемными показателями. Полученные показатели работы более точно отражают систолическую функцию левого желудочка. Выводы. Предложенные показатели эффективности работы левого желудочка дают более точную оценку состояния миокарда. Математический аппарат открывает уникальные возможности для дальнейшего изучения сократительной функции миокарда.
Ключевые слова
Актуальность и цели . Бифуркации в типичных одно- и двухпараметрических семействах гладких динамических систем на плоскости практически полностью изучены. Для приложений представляют значительный интерес и кусочно-гладкие динамические системы на плоскости. Для них различных типов бифуркаций гораздо больше, чем для гладких динамических систем. Некоторые из них уже описаны. Однако продолжение исследования бифуркаций в типичных двухпараметрических семействах двумерных кусочно-гладких динамических систем представляется по-прежнему актуальным. Материалы и методы . Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Результаты . Рассматривается двумерное кусочно-гладкое векторное поле X . Пусть S - точка на линии разрыва поля, и в двух ее полуокрестностях V 1 и V 2 поле совпадает с гладкими векторными полями соответственно Х 1 и Х 2. Для векторного поля Х 1 точка S является седлом с ненулевой седловой величиной и инвариантными многообразиями, трансверсальными линии разрыва. В точке S векторное поле Х 2 трансверсально линии разрыва и направлено внутрь V 1. Выходящая и входящая сепаратрисы седла S , начинающиеся в V 1, не содержат особых точек и вместе с S образуют петлю. Для двухпараметрических деформаций общего положения рассматриваемых векторных полей в окрестности петли получены бифуркационные диаграммы. Выводы. Описаны бифуркации петли сепаратрисы рассматриваемой особой точки на линии разрыва векторного поля.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Задача нахождения особых (сингулярных) решений дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных представляет интерес при изучении различных преобразований нелинейных уравнений математической физики таких, например, как преобразования Лежандра. Уравнения данного типа являются значимыми в прикладных задачах теоретической физики. Например, в квантовой теории поля существует связь особого решения уравнения типа Клеро с эффективным действием для составных полей. В теории с составными полями однопетлевое эффективное действие определяется уравнением, содержащим неизвестный функционал и его вариационные производные, которое имеет вид уравнения типа Клеро. Целью настоящей статьи является нахождение условия существования особых решений для дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных, а также получение сингулярных решений для обратных тригонометрических функций. Поиск особых решений уравнений типа Клеро в частных производных для конкретных функций остается мало изученным и является перспективным научным направлением. Материалы и методы. Представлен метод отыскания сингулярных решений уравнения типа Клеро в частных производных со специальным видом зависимости функции от частных производных на примере обратных тригонометрических функций. Суть метода заключается в сведении задачи нахождения частных производных искомой функции к задаче нахождения сверток частных производных искомой функции с фиксированными параметрами. Описанный метод применим для нахождения сингулярных решений уравнений типа Клеро, когда функция от производных искомой функции имеет специальный вид. Результаты. Сформулирован критерий существования сингулярного решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой обратные тригонометрические функции от линейных комбинаций частных производных. Полученные в настоящей работе сингулярные решения вычислены для случая произвольного количества переменных и являются основными результатами работы. Отмечается, что во всех рассмотренных случаях для данного выбора функции в уравнении удается разрешить систему уравнений, определяющую особое решение. Выводы. Дифференциальные уравнения типа Клеро представляют собой нелинейные уравнения в частных производных первого порядка и являются обобщением известного обыкновенного дифференциального уравнения Клеро. В работе описана проблема нахождения особого решения дифференциального уравнения в частных производных типа Клеро для случая, когда функции от производных представляют собой одну из обратных тригонометрических функций. Обсуждаются условия существования особых решений и структура функции от производных, для которой описанный метод применим. Из курса дифференциальных уравнений известно, что сингулярные решения уравнений типа Клеро в частных производных не всегда существуют. Поэтому вопрос о нахождении конкретных функций от частных производных в уравнении, для которых особые решения существуют, остается открытым и представляет собой перспективное направление для дальнейшего изучения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Процессы, связанные с динамикой многофазных сред, встречаются как в естественной природе, так и в промышленных технологиях. Целью данной работы является исследование влияния параметров дисперсной компоненты на отражение ударной волны от твердой поверхности в моно- и полидисперсной запыленной среде. Материалы и методы. Для описания динамики несущей среды применяется двумерная система уравнений Навье - Стокса, записанная с учетом межфазного силового взаимодействия и межфазного теплообмена. С целью описания динамики дисперсной фазы для каждой ее фракции решается система уравнений, включающая в себя уравнение неразрывности для «средней плотности» фракции, уравнения сохранения, пространственных составляющих импульса и уравнение сохранения тепловой энергии фракции газовзвеси. Результаты. В работе численно моделировались ударно-волновые процессы в запыленных средах с однородным составом дисперсной фазы и в запыленных средах с дисперсной фазой частицы, которые отличались размерами и плотностью материала. Исследовались процессы движения и отражения ударных волн от твердой стенки в зависимости от параметров дисперсной фазы. Определены закономерности влияния размера частиц на интенсивность отраженной ударной волны в моно- и полидисперсной газовзвесях. Выводы . Выявлено влияние физической плотности дисперсной фазы и размера частиц на характеристики отраженной от твердой поверхности ударной волны. Закономерности, выявленные для монодисперсной газовзвеси, были обобщены на случай запыленной среды, твердая фаза которой состоит из нескольких компонент с различными физическими свойствами дисперсных частиц.
Ключевые слова
Актуальность и цели . Исследование течений вязкой жидкости, контактирующей с погруженными в нее колеблющимися пористыми телами различной конфигурации, представляет большой интерес для гидродинамики в связи с большой теоретической значимостью и различными практическими приложениями. Целью настоящей работы является определение полей скоростей фильтрации и скоростей свободной жидкости в областях внутри и вне пористой сферической оболочки с непроницаемым сферическим ядром, совершающей вращательно-колебательное движение. Материалы и методы . Для решения задачи о течении вязкой жидкости, вызванном вращательно-колебательным движением погруженной в нее пористой сферической оболочки с непроницаемым сферическим ядром, используются методы математической физики, векторного анализа, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для описания течений вязкой жидкости в пористой среде используется нестационарное уравнение Бринкмана. Движение жидкости вне пористой среды описывается уравнением Навье - Стокса. Результаты . Получены аналитические решения нестационарного уравнения Бринкмана и уравнения Навья - Стокса для пористой среды и свободной жидкости вне пористой среды соответственно. Определены поля скорости фильтрации и скорости свободной жидкости внутри и вне пористой среды. Выводы . Показано, что поля скоростей жидкости для случаев пористой сферической оболочки с непроницаемым ядром и пористой сферы без ядра существенно различаются. Показано также, что в частных случаях из полученного в настоящей работе решения следуют известные ранее результаты о течениях в вязкой жидкости, вызванных вращательно-колебательным движением погруженного в нее пористого шара.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Рассматривается задача электродинамики - задача определения электромагнитных (тензорных) и геометрических характеристик многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе. Цель исследования - разработать численно-аналитический метод решения обратной задачи. Материалы и методы. Исследуется обратная задача электродинамики: обратная задача восстановления тензоров электромагнитных параметров и толщины каждой секции многосекционной диафрагмы. Задача сводится к решению краевой задачи для систем уравнений Максвелла. Результаты. Разработан численный метод, который был протестирован на нескольких сериях задач. Выводы. Численный метод и численные результаты могут быть использованы при определении электромагнитных и геометрических параметров современных видов материалов волноводным методом.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Дифференциальные уравнения математической физики, относящиеся к параболическому типу, играют одну из центральных ролей в математическом моделировании самых различных процессов в физике и технике. В частности, параболические уравнения широко используются при моделировании процессов диффузии, динамики жидкостей и газов, а также биологических и экологических явлений. Эти уравнения встречаются в задачах тепло- и массопереноса, теории горения, теории фильтрации и т.д. Вместе с тем, несмотря на достаточно большое число известных результатов в области приближенного решения параболических уравнений, имеется большая практическая потребность в разработке эффективных численных методов решения нелинейных уравнений параболического типа, которые, будучи достаточно простыми, являлись бы устойчивыми к возмущениям исходных данных, допуская при этом применение к максимально широкому классу уравнений. Материалы и методы. Предметом исследования данной работы является задача Коши для одномерного нелинейного параболического уравнения. Ставится задача построения численного метода решения упомянутой задачи. Для этого выполняется переход от исходной задачи Коши для параболического дифференциального уравнения к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра. Для решения этого уравнения привлекается непрерывный операторный метод решения нелинейных уравнений: выполняется переход к вспомогательной системе интегродифференциальных уравнений специального вида, которая далее решается при помощи одного из численных методов решения дифференциальных уравнений. Результатом применения метода является набор приближенных значений неизвестной функции в узлах равномерной сетки, построенной в конечной области. Результаты. Предложен численный метод решения задачи Коши для одномерного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. Значимость этого метода обусловлена его простотой в сочетании с универсальностью, позволяющей применять единый алгоритм для весьма широкого класса нелинейностей. Выводы . Предложен эффективный итерационный метод решения задачи Коши для нелинейного одномерного дифференциального уравнения параболического типа. Значительный теоретический и практический интерес представляет распространения этого метода на краевые задачи, а также на многомерные уравнения.