Актуальность и цели. Существует большое число проблем как в физике и технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при исследовании которых возникает необходимость в вычислении интегралов (в том числе сингулярных и гиперсингулярных) от быстроосциллирующих функций. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов, в ядра которых входят быстроосциллирующие функции. Особое внимание уделяется построению оптимальных по точности (по порядку) квадратурных формул. Материалы и методы. В работе представлено два метода вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами. Один метод основан на преобразовании упомянутых интегралов к обыкновенным дифференциальным уравнениям и численному решению последних. Второй метод заключается в построении квадратурных формул интерполяционного типа. Для получения оценок снизу погрешности квадратурных формул на классах функций используется метод осреднения по равноотстоящим узлам. Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадратурные формулы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами на классах функций Гельдера и где - положительная константа. Представлен алгоритм трансформации сингулярных и гиперсингулярных интегралов в обыкновенные дифференциальные уравнения. Выводы. Предложены методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов с быстроосциллирующими ядрами, которые могут быть использованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2018. — Выпуск 1
Содержание:
Актуальность и цели . Аналитические методы решения задач математической физики, в том числе интегральные преобразования, являются активно развивающимся направлением математического моделирования. Метод интегральных преобразований представляет собой один из наиболее действенных аналитических методов решения модельных задач математической физики. Помимо непосредственных приложений в физике и при решении краевых задач математической физики, интегральные преобразования возникают в технике для кодирования и фильтрации сигналов. Существующие в настоящее время формулы обращения интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина обладают серьезным недостатком: они требуют выхода в комплексную область или содержат производные как угодно большого порядка. Оба указанных недостатка приводят к вычислительным проблемам. Для их разрешения мы доказываем новые формулы для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье, двухстороннего интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина. Новые формулы не содержат производных и получены в виде ряда по системе ортогональных полиномов Эрмита. Найдены их приложения в теории фильтрации сигналов. Материалы и методы. Работа основана на теоретических положениях анализа Фурье и теории рядов Эрмита; используются теоремы разложения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина. Результаты . Раскладывая ядра интегрального представления в ряд по полиномам Эрмита, мы получаем новые формулы обращения для интегрального преобразования Вейерштрасса. Далее, используя формулы для связи интегральных преобразований Лапласа, Меллина и Вейерштрасса, мы устанавливаем формулы обращения для других интегральных преобразований. Выводы . Установленные в работе новые формулы обращения интегральных преобразований открывают неизвестные ранее возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вейерштрасса, Меллина в теории фильтрации сигналов и в теории обратных задач математической физики.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Исследование свойств поверхностей в различных пространствах - одна из основных задач дифференциальной геометрии. Для поверхностей в евклидовом пространстве, имеющих коразмерность, большую единицы, возникают новые геометрические характеристики и свойства, которых не имеют гиперповерхности в этом пространстве. В частности, у двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве появляются коэффициенты кручения. Целью данной работы является изучение свойств сферического образа двумерной поверхности, оснащенной системой нормалей без кручения, в четырехмерном евклидовом пространстве. Материалы и методы. Используются методы дифференциальной геометрии, разработанные Э. Картаном, К. Ш. Рамазановой и А. И. Фирсовым для исследования поверхностей, имеющих коразмерность больше единицы. Результаты. Доказаны некоторые свойства сферического образа двумерной поверхности, оснащенной системой нормалей без кручения, а также получены достаточные условия того, что он является трехмерной поверхностью. Выводы. Исследовано строение сферического образа двумерной поверхности, оснащенной системой нормалей без кручения при выполнении некоторых дополнительных условий.
Ключевые слова
Актуальность и цели. На практике достаточно часто встречается необходимость вычисления расстояния между последовательностями различной природы. Подобные алгоритмы используются в биоинформатике для сравнения секвенированных генетических цепочек. В силу большой размерности таких цепочек приходится использовать эвристические алгоритмы, которые дают приближенные результаты. Поэтому возникает задача оценки качества используемых метрик (расстояний), по результатам которой можно сделать вывод о применимости алгоритма к различным исследованиям. Цель исследования - повышение качества оценки расстояния между длинными строками. Материалы и методы. Для сравнения генетических цепочек, взятых из открытого банка данных NСВI, мы предлагаем эвристический алгоритм, разработанный на основе алгоритма Нидлмана - Вунша. После реализации исходного алгоритма к полученным значениям метрики дополнительно применяется специальная функция с тремя параметрами, определение которых производится методом градиентного спуска. Результаты. Получена качественная оценка работы алгоритмов для расчета расстояния между цепочками ДНК и разработан один из подходов к улучшению таких алгоритмов. Выводы. Было предложено улучшение алгоритма Нидлмана - Вунша сравнения строковых последовательностей, а также сформулирован подход к улучшению других алгоритмов построения метрик на длинных строках.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Изучение движения твердых тел, как сплошных, так и пористых, в вязкой жидкости представляет значительный интерес в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. В настоящей работе исследовано влияние поступательно-колебательного движения сферического пористого тела в вязкой жидкости на течение этой жидкости. Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики, а также численные методы. Задача решается в неподвижной сферической системе координат, начало которой в данный момент времени совпадает с центром сферы. Результаты. Определены поля скоростей жидкости внутри и вне пористого тела. Построены линии тока жидкости. Выводы. Показано, что поля скоростей и линии тока жидкости при движении сферического пористого тела значительно отличаются от таковых в случае движения сплошного (непроницаемого) твердого тела.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Цель работы - исследование спектра задачи о распространяющихся электромагнитных волнах анизотропного диэлектрического волновода с круговым сечением. Материалы и методы. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения численного решения задачи применяется метод Галеркина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций. Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи распространения нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода с круговым сечением, проведен ряд численных экспериментов. Вывод. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.
Ключевые слова
Актуальность и цели . Задача нахождения максимального числа предельных циклов, возникающих в дифференциальном уравнении первого порядка, составляет вторую часть 16-й проблемы Гильберта. Она вызывает постоянный интерес у математиков уже более 100 лет. И хотя отдельные частные результаты решения этой проблемы известны, полностью решить ее пока не удалось. Целью данной работы является практическая реализация одного из методов вычисления ляпуновских величин, который был в общих чертах описан в работах Ллойда и Линча. Метод применяется для оценки максимального числа малоамплитудных предельных циклов в некоторых системах (уравнениях) Льенара. Материалы и методы . Ллойд и Линч доказали, что при разложении правых частей системы Льенара в ряды Тэйлора имеет место некоторое соотношение, зависящие от параметра k . Этот параметр непосредственно связан с возможным числом малоамплитудных предельных циклов, возникающих в системе. Мы предлагаем процедуру точного нахождения функции (правой части уравнения) в виде ряда, члены которого определяются с помощью представления в виде полиномов Белла, согласно формуле Фаа ди Бруно. Результаты . Получена формула, которая позволяет найти ляпуновские величины произвольного порядка для некоторых систем Льенара с точностью до отрицательного множителя. Проведено сравнение вычислений с известными формулами и показана применимость предлагаемого метода для оценки числа малоамплитудных предельных циклов в системе Льенара. Выводы . Выполнена техническая реализация метода, изложенного в работе Линча, которая позволяет достаточно просто находить ляпуновские величины, что дает возможность оценить максимальное число малоамплитудных предельных циклов, возникающих из неподвижной точки системы Льенара.
Ключевые слова
Актуальность и цель. Существует большое число проблем, как в физике и технике, так и непосредственно в различных разделах математики, при решении которых возникает необходимость в вычислении гиперсингулярных интегралов. Так как непосредственное вычисление таких интегралов возможно лишь в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке приближенных методов. Статья посвящена построению приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов. Особое внимание уделяется исследованию связи между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Материалы и методы. В работе исследуется связь между методами вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Предложен метод оценки сверху квадратурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов и кубатурных формул вычисления полигиперсингулярных интегралов. Результаты. Построены оптимальные по точности (по порядку) квадратурные и кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов с особенностями второго порядка. Рассматриваются гиперсингулярные и полигиперсингулярные интегралы с периодическими ядрами и на классах периодических функций. Выводы. Предложены оптимальные по порядку методы вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов, которые могут быть использованы при решении задач физики, техники и вычислительной математики.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Представлен обзор экспериментальных и теоретических исследований по рассеянию положительных ионов малых и средних энергий поверхностью металлов. Актуальность таких исследований обусловлена внедрением в практику новых прогрессивных пучковых технологий и методов анализа вещества, связанных с взаимодействием заряженных атомных частиц с твердым телом. Целью настоящей работы является анализ результатов исследований, устанавливающих механизм взаимодействия ионов с поверхностью при их рассеянии на атомах твердого тела, а также изучение различных факторов (энергия и масса иона, масса атома мишени и ее физические свойства), влияющих на эти механизмы. Материалы и методы. Экспериментальные результаты получали на установках по обратному рассеянию, обладающих высоким угловым и энергетическим разрешением и позволяющих снимать энергетические спектры рассеянных ионов. Теоретические исследования проводили методом компьютерного моделирования (численного эксперимента) с использованием вычислительной техники в рамках выбранной математической модели. Выводы. В зависимости от энергии и массы бомбардирующих ионов и атомов мишени установлены два механизма взаимодействия: модель парных упругих столкновений (область килоэлектронвольтных энергий) и механизм многочастичного взаимодействия (область низких энергий - десятки и сотни электроновольт). Определены границы применимости этих механизмов и намечены пути их возможного использования в аналитических целях.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Основной целью работы является установление взаимосвязи между методом обратной задачи (МОЗ) и методом функциональных подстановок в теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Метод обратной задачи используется для построения решений уравнений, допускающих многосолитонные решения, а метод функциональных подстановок - к уравнениям, которые часто называются уравнениями типа Бюргерса. В данной работе демонстрируется, что модификация метода функциональных подстановок с помощью введения в процедуру дополнительных замыкающих условий позволяет приводить уравнения типа Бюргерса к уравнениям, совпадающим с уравнениями, интегрируемыми с помощью МОЗ. Исследуются только уравнения типа нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), в частности, уравнения Гинзбурга - Ландау. Материалы и методы . Методом исследования является матричный вариант метода функциональных подстановок. Результаты . Вычислены уравнения типа Бюргерса, имеющие вид, схожий с уравнением НУШ, для произвольной матричной размерности подстановок. Для частного случая в размерности n = 2 построены все возможные типы уравнений типа НУШ. С помощью введения дополнительного матричного дифференицального соотношения порядка 1 вычисляются уравнения, имеющие форму, идентичную форме НУШ. Выводы . Развитый в работе метод устанавливает связь между уравнениями типа Бюргерса, которые интегрируются с помощью метода функциональных подстановок и уравнениями, интегрируемыми с помощью МОЗ. Приведенный пример устанавливает такую связь лишь для НУШ, причем в частном случае матричной размерности 2, что приводит к односолитонным решениям и их обобщениям.
Ключевые слова
Актуальность и цели. В лампах бегущей волны на цепочке связанных резонаторов диапазона 30…120 ГГц высокие величины коэффициента усиления (КУ) и электронного коэффициента полезного действия (КПД) обеспечиваются при диаметре d отверстия пролетного канала (ПК) резонаторов, равном 0,75…1,5 ширины Δ зазора взаимодействия (ЗВ). В диапазоне 200… 300 ГГц для реализации приемлемых КУ и КПД электронный пучок с плотностью тока до 500 А/см и с потенциалом до 25 кВ необходимо пропускать через отверстия с d < 0,2 мм, чтобы сохранить оптимальное d /Δ. Однако в этом случае конструкция электронно-оптической системы очень сложна, а изготовление таких отверстий проблематично, потому что невозможно применить технологию сверления и трудно применить электроэрозионную технологию. Теоретически показано, что лампs бегущей волны на цепочке связанных резонаторов диапазона 200…300 ГГц будут иметь КПД < 1 %. Поэтому при их разработке целесообразно стремиться к увеличению интенсивности взаимодействия (ИВ) электронов с высокочастотным полем в ЗВ, а не к увеличению КПД. В этом случае КУ и выходная высокочастотная мощность будут расти, так как ИВ происходит на периферийной части сечения пучка, увеличивающейся с ростом d /Δ. Цель исследований - теоретически рассмотреть основные закономерности роста ИВ электронов с высокочастотным полем в ЗВ за счет увеличения d /Δ. Материалы и методы . Для анализа основных закономерностей поставленной задачи используется математический аппарат, где взаимодействие электронов и высокочастотного поля в ЗВ рассматривается в рамках линейного приближения, а электродинамическая часть задачи - в рамках квазиэлектростатического приближения. Рассматривается модель в виде зазора шириной Δ между плоскими границами проводящих полупространств, в которых расположены соосно два круглых ПК диаметром d. Полагается, что действующий в зазоре электрический высокочастотный потенциал V , изменяется в поперечном направлении по закону, соответствующему изменению в этом направлении компонент напряженности высокочастотного поля (КНП) в цилиндрическом резонаторе. Аналитическое описание распределения КНП в ЗВ проводится с помощью функциональных рядов, составленных из собственных решений уравнения Лапласа. Коэффициенты в рядах находятся из решения системы линейных уравнений, полученной в результате приравнивания продольных и поперечных КНП на общей цилиндрической границе диаметром d и последующего разложения получаемых выражений в ряды Фурье по тригонометрическим функциям. Для анализа ИВ в ЗВ применяются интегральные выражения для сгруппированного тока в пучке и для мощности его взаимодействия с высокочастотными полями. Результаты. Рассчитано распределение КНП в пространстве ЗВ, которое использовано для расчета зависимости коэффициента ИВ ( K ) от d /Δ. Выводы . Показано, что K растет при увеличении d /Δ и имеет максимум при d /Δ, равных 4,25…4,75. Эти величины K превышают в 3…5 раз величину K для d /Δ, равных 0,75…1,5. Наибольшего значения максимальное значение K достигает при угле пролета электронов через ЗВ, равном 3p/8. Значения d /Δ, равные 4,25…4,75, меньше, чем критический размер d /Δ в ПК, при котором возникает электродинамическая связь между смежными резонаторами.