Актуальность и цели. Многозначная логика предоставляет широкие возможности для разработки различных алгоритмов во многих областях и с успехом применяется при решении многих задач и во множестве технических разработок. Этим объясняется интерес к задаче построения надежных схем в полном конечном базисе из k-значных функций (k ≥ 3), которая решена при k равном 3 и 4. Цель работы – выявить свойства k-значных функций (k ≥ 5), схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и описать соответствующий метод синтеза.Материалы и методы. В работе используются известные методы дискретной математики и математической кибернетики для получения оценок ненадежности схемы и для оценок числа функций специального вида. Кроме того, предлагается новый метод синтеза схем из ненадежных функциональных элементов. Результаты. Выявлены свойства k-значных функций (k ≥ 5), схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, и описан соответствующий метод синтеза. Также получены верхняя и нижняя оценки для числа этих функций. Вывод. Выявленные ранее свойства трехзначных и четырехзначных функций, схемы которых можно использовать для повышения надежности исходных схем, можно обобщить на случай k-значных функций при любом натуральном k ≥ 5.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2015. — Выпуск 3
Содержание:
Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В настоящее время отсутствуют обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений при различных особенностях на концах сегмента [–1,1], на котором задано уравнение. В данной работе предложен и обоснован метод механических квадратур решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода при всех возможных особенностях на концах сегмента [–1,1]. Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа и теории приближения. Рассмотрены три известные класса решений гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода: класс решений, обращающихся в нуль на обоих концах сегмента [–1,1]; класс решений, обращающихся в бесконечность на обоих концах сегмента [–1,1]; класс решений обращающийся в нуль на одном конце сегмента [–1,1] и в бесконечность на другом. Приближенные решения уравнений ищутся в виде полиномов Чебышева первого и второго рода, а обоснование метода механических квадратур проводится на основе общей теории приближенных методов. Результаты. Построены три вычислительные схемы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Каждая вычислительная схема предназначена для решения гиперсингулярного интегрального уравнения с заранее заданными особенностями решений на концах сегмента [–1,1]. В работе получены оценки быстроты сходимости и погрешности методов. Выводы. Построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [–1,1]. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.
Ключевые слова
Актуальность и цели. В работе анализируются применяемые на практике для описания электромагнитных полей в продольно-регулярных волноводах со сложным криволинейным поперечным контуром численные сеточные методы, построенные на основе разностных схем и конечных элементов, и численно-аналитические методы, построенные на основе рядов аналитических решений уравнений Максвелла. Материалы и методы. Показано, что численные сеточные методы характеризуются высокой трудоемкостью, так как любое изменение конфигурации поперечного контура волновода требует построения всей цепочки трудоемких вычислительных процедур. При этом имеются ограничения на допустимые для расчета соотношения геометрических размеров и конфигурацию поперечного контура волноводов. Это связано с трудоемкостью построения сеточного аналога расчетной области и выбора эффективного алгоритма решения задачи. Кроме этого, применение данных методов малоэффективно при расчете диэлектрических волноводов, так как не обеспечивается требуемая точность расчета электродинамических параметров из-за приближенного задания внешних краевых условий. Анализ известных численно-аналитических методов показал, что их применение для приближенного решения электродинамической задачи ограничивается небольшим набором волноводных моделей. Так, выражения для СВЧ-полей, вычисляемые с помощью численно-аналитического метода Галеркина – Ритца, удовлетворяют уравнениям Максвелла приближенно, а краевые условия для них выполняются строго только на тех участках попе- речного контура исследуемого волновода, которые соответствуют контуру «вспомогательного» волновода прямоугольной формы. Поэтому постоянные распространения вычисляются с точностью от 5 до 25 % (точность расчета зависит от конфигурации поперечного контура волновода), а пространственное распределение составляющих СВЧ поля рассчитывается лишь качественно. Результаты и выводы. Метод на основе частичных областей решает внутреннюю электродинамическую задачу для продольно-регулярных металлических волноводов с диэлектрическим и гиромагнитным заполнением. Метод позволяет строго учитывать краевые условия с учетом поведения СВЧ-поля вблизи ребер на поперечном контуре волновода. Но его применение ограничивается случаями, когда поперечное сечение волновода можно представить в виде сетки из прямоугольных ячеек (частичных областей). Метод на основе неортогональных разложений по собственным функциям вспомогательных источников излучения позволяет решать внутреннюю и внешнюю электродинамическую задачу. Но краевые условия учитываются не достаточно строго, поэтому погрешность расчета электродинамических параметров составляет 10–2–10–4 . Имеются также ограничения на допустимые для расчета конфигурации поперечного контура волноводов, что связано с трудностью построения вспомогательного контура из линейных источников излучения, а также с трудностью выбора их числа.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Проблема решения задачи Коши для жестких систем большой размерности возникает при моделировании физических и химических процессов, при аппроксимации уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений и во многих других важных приложениях. Учет большого числа факторов при построении математических моделей приводит к расширению класса задач, описываемых жесткими системами большой размерности. Сложность практических задач приводит к возрастающим требованиям к вычислительным алгоритмам. Материалы и методы. В случае большой размерности жесткой системы дифференциальных уравнений основные затраты приходятся на декомпозицию матрицы Якоби. В некоторых алгоритмах применяется замораживание матрицы Якоби, т.е. одна матрица используется на нескольких шагах интегрирования. Проблема замораживания матрицы достаточно просто решается в методах, в которых стадии вычисляются с применением итерационного процесса. Для безытерационных численных формул это существенная проблема. В данной работе сокращение затрат достигается за счет комбинирования явных и L-устойчивых методов по критерию устойчивости в процессе расчетов. Результаты. Создан алгоритм интегрирования переменной структуры на основе явной схемы типа Рунге – Кутты и L-устойчивого метода типа Розенброка третьего порядка. На каждом шаге эффективная численная формула выбирается по критерию устойчивости. Оценка максимального собственного числа матрицы Якоби, необходимая для переключения между методами, для явных численных схем определяется степенным методом через ранее вычисленные стадии, а для метода типа Розенброка – через норму матрицы Якоби. Построены неравенства для контроля точности и устойчивости. Приведены результаты расчетов. Выводы. Алгоритм интегрирования предназначен для решения жестких задач большой размерности. Результаты расчетов подтверждают эффективность построенного алгоритма.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Цель работы – теоретическое исследование скалярной задачи рассеяния плоской волны препятствием сложной формы, состоящим из объемного тела и расположенного внутри этого тела бесконечно тонкого акустически мягкого экрана. Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке. Краевая задача сводится к системе слабосингулярных интегральных уравнений, для исследования которой применяются элементы теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем. Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции, доказана теорема о единственности ее квазиклассического решения. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений, установлена эквивалентность интегральных уравнений краевой задаче, доказана непрерывная обратимость оператора системы интегральных уравнений. Выводы. Получены важные результаты о разрешимости рассматриваемой задачи дифракции, которые могут быть использованы при обосновании численных методов ее приближенного решения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Целью работы является исследование задачи распространения электромагнитных ТЕ-волн в плоском нелинейном неоднородном диэлектрическом волноводе. Материалы и методы. Применены общие методы теории краевых задач, метод полуобращения (сведение дифференциального уравнения к интегральному с использованием функции Грина), принцип сжимающих отображений, метод малого параметра. Результаты. Получено дисперсионное уравнение. Доказано существование собственных значений – корней дисперсионного уравнения (постоянных распространения) и указаны области их локализации. Представлены численные результаты (графики дисперсионных кривых и собственных функций исследуемой задачи). Выводы. Полученные результаты могут быть использованы при изучении задачи распространения связанных поляризованных волн.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Предметом исследования являются полугруппы и некоторые предикаты, заданные на этой полугруппе, в частности предикат равенства и предикат вхождения элемента в подполугруппу. Решается задача нахождения минимальной полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q. В качестве аппроксимационных гомоморфизмов мы будем рассматривать характеры, поэтому среди полугрупп для нашей задачи, очевидно, необходимо рассматривать только коммутативные полугруппы. Комплексным характером полугруппы называется гомоморфизм данной полугруппы в мультипликативную полугруппу, состоящую из всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и нуля. Цели работы – описание известных полугрупп аппроксимации, методов доказательства этого факта, выяснение вопросов существования и единственности минимальных полугрупп аппроксимации для некоторых классов и предикатов. Материалы и методы. В работе используются общие методы анализа и синтеза. Также используются специальные аппроксимационные методы, а именно метод построения гомоморфизма, метод разложения коммутативной регулярной полугруппы в полурешетку максимальных подгрупп, метод продолжения гомоморфизма подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы. Результаты. Для произвольного класса полугрупп определяется минимальная полугруппа аппроксимации относительно некоторого заданного предиката. В работе дан обзор известных результатов, указаны минимальные полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q, в частности, для класса коммутативных регулярных периодических полу- групп относительно предиката вхождения элемента в подполугруппу. Аппроксимация, по сути являясь приближением, позволяет заменить одни объекты другими, более компактными либо хорошо изученными. В данном случае, об истинностном значении предиката, заданного на некотором классе полугрупп, можно судить по его значению на соответствующих элементах минимальной полугруппы аппроксимации. Выводы. В статье приводится пример группы, для которой невозможно найти минимальную полугруппу аппроксимации. Также вопросы существования и единственности минимальной полугруппы аппроксимации для некоторых классов полугрупп П и предикатов Q решаются отрицательно. Однако в частных случаях минимальную полугруппу аппроксимации найти удается -приводятся примеры минимальных полугрупп аппроксимации с доказательством этого факта.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Рассматриваются некоторые вопросы оптимального управления, а именно теория динамических игр для случая, когда динамика игры описывается линейными интегральными и интегродифференциальными векторными уравнениями Вольтерра. Целью работы является решение задач оптимизации функционалов типа расстояния. Материалы и методы. Для решения этих задач автором построена некоторая модификация известной экстремальной конструкции академика Н. Н. Красовского, разработанная для обыкновенных дифференциальных систем. Центральным элементом этой модификации является новое определение позиции игры, для вычисления которой требуется полная память по управляющим воздействиям, что существенно усложняет все исследование по сравнению со случаем обыкновенных линейных дифференциальных систем. Результаты и выводы. В работе получены существенно новые результаты, которые дополняют и расширяют общую теорию динамических игр. Они заключаются в распространении классических методов академика Н. Н. Красовского на более сложные объекты – динамические системы Вольтерра. Таким образом, доказывается возможность расширения области приложения этих методов.
Ключевые слова
Background. The proposed construction of a qubits as fragments of composite nanostructured materials with quasi-zero refractive index allows to realize the resonance energy transfer over long distances by selective excitation of one of the qubits using the continuous ultraviolet radiation. Materials and methods. A new construction of the qubit made of composite material with quasi-zero-refractive index synthesized by us is represented. Qubit is a fragment of this material with one silver nanoparticle inside a cylinder with a base area π⋅ (28 nm)2 and a height of 56 nm, which corresponds to 3 % of weight content of the silver in the composite material with uniformly distributed nanoparticles with a radius of 2.5 nm. Results. On the basis of the equations of motion for coupled quantum dipoles and integro-differential equations for the electric field, a nonlocal problem was solved, in which one qubit is excited by continuous radiation, and at the location of the other qubit the local field is induced. The distance between the qubits is 5 m. Quantum information is transmitted due to entanglement of quantum states of qubits. Conclusions. The article shows that the system of two qubits, which are fragments of a composite material with a quasi-zero refractive index, is an ideal energy transporter from one qubit to another over long distances. The new construction of aqubit with nanofibers, allowing to implement selective excitation of qubits by external radiation, was represented.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Интерес к оптическим свойствам квантовых точек с A+ -центрами в магнитном поле обусловлен прежде всего возможностью эффективного управления как энергией связи примесных комплексов A+ + e , так и спектральными кривыми рекомбинационного излучения, связанного с излучательным переходом возбужденного электрона на уровень A+ -центра. В зависимости от радиуса квантовой точки спектр рекомбинационного излучения может находиться как в видимом, так и в терагерцовом диапазоне частот, что существенно расширяет круг приборных приложений рассматриваемой системы. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния внешнего магнитного поля на энергию связи дырки в примесном комплексе A+ + e в сферически симметричной квантовой точке, а также на частотную зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения квазинульмерной структуры с примесными комплексами A+ + e . Материалы и методы. Зависимость энергии связи A+ -состояния от ко- ординат примесного центра в магнитном поле, а также частотная зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения в квазинульмерной структуре с примесными комплексами A+ + e построены для InSb квантовых точек. Расчет энергии связи дырки в примесном комплексе A+ + e выполнен в модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении. Расчет спектральной интенсивности рекомбинационного излучения выполнен в дипольном приближении с учетом дисперсии радиуса квантовых точек. Результаты. Показано, что модификация электронных состояний в квантовой точке, обусловленная гибридным квантованием в радиальной плоскости и размерным квантованием в направлении магнитного поля, является причиной пространственной анизотропии энергии связи дырки в примесном комплексе A+ + e . Найдено, что спектральная интенсивность рекомбинационного излучения в магнитном поле возрастает, что вызвано ростом интеграла перекрытия огибающих волновых функций связанной на A+ -центре дырки и локализованного в основном состоянии квантовой точки электрона. Выводы. В магнитном поле возникает пространственная анизотропия энергии связи дырки в комплексе A+ + e , смещение кривой спектральной интенсивности рекомбинационного излучения в коротковолновую область спектра и увеличение вероятности излучательного перехода электрона на уровень A+ -центра.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Развит метод вычисления длинноволновых асимптотик решений нелинейных диффузионных уравнений и их систем. Основной целью работы является получение критериев роста пространственно-периодических возмущений и образования регулярных длинноволновых структур в случае постоянного по пространству и времени внешнего источника дефектов в нелинейных диффузионных системах. Материалы и методы. Предлагаемый метод вычисления длинноволновых асимптотик решений основан на одном из вариантов метода многомасштабных разложений с коррекцией сходимости рядов с помощью устранения резонансов. Малым параметром служит отношение скорости диффузионного переноса к скорости локальной релаксации флуктуаций концентраций. Подход позволяет связать параметры диффузии для амплитуд процесса релаксации с характеристиками внешних источников компонентов среды. В результате удается получить критерии роста длинноволновых периодических составляющих диффузионного процесса переноса компонентов среды, связав их с величиной внешних источников. Метод распространяется на случай многокомпонентных сред. Процедура вывода уравнений для амплитуд процесса переноса проводится для общего класса нелинейных диффузионных уравнений с общего вида нелинейными коэффициентами диффузии и нелинейными источниками. Исследуется роль нелинейной релаксации в формировании периодических структур в асимптотике больших периодов времени. Результаты. На основе предлагаемого подхода получены критерии асимптотического роста длинноволновых возмущений для общей функциональной зависимости коэффициента диффузии от концентрации дефектов и малых нелинейных источников в правой части уравнений. Аналогичные критерии получены для систем диффузионных уравнений, описывающих процесс переноса в многокомпонентной среде. Обнаружен эффект асимптотического подавления роста длинноволновых пространственно-периодических флуктуаций в случае квадратичной нелинейности источника в нулевом порядке возмущений. Выводы. Полученные в работе критерии роста пространственно-периодических длинноволновых возмущений дают возможность объяснить возникновение регулярных структур в средах, подвергнутых постоянному внешнему облучению. Такой подход может применяться как для задач лазерного облучения материалов, так и для облучения материалов потоками нейтронов или других типов радиации.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Для экспериментальных исследований фундаментальных физических эффектов в системах сверхмалых наночастиц в диэлектрических матрицах, а также для их приборных приложений, необходима разработка технологий контролируемого формирования сверхмалых наночастиц заданных размеров в толще сверхтонких диэлектрических пленок, что актуально как для прецизионной наноэлектроники с управляемыми характеристиками, так и для современной наномедицины. Целью настоящей работы является исследование особенностей туннельных вольт-амперных характеристик (ВАХ), полученных для растущих квантовых точек из коллоидного золота в системе совмещенного атомно-силового и сканирующего туннельного микроскопов (АСМ/СТМ), а также исследование условий возможного вклада 2D-диссипативного туннелирования в туннельные ВАХ. Материалы и методы. Проведенный эксперимент частично отвечает методике авторов из университета Кобе (Япония). Образование частиц золота в пленках Au(III) – SiO2/TiO2 осуществляется с использованием атомного силового микроскопа. Теоретические работы выполнены в рамках теории диссипативного туннелирования методом инстантонов. Результаты. В работе получены туннельные ВАХ для растущих квантовых точек из коллоидного золота в системе совмещенного АСМ/СТМ. Проведено качественное сравнение туннельных ВАХ с рассчитанной теоретической кривой полевой зависимости вероятности 2D-диссипативного туннелирования с учетом влияния двух локальных фононных мод широкозонной матрицы. Установлено качественное соответствие экспериментальной и теоретической кривых, что свидетельствует о возможном вкладе механизма диссипативного туннелирования в туннельный ток через растущую квантовую точку под иглой кантилевера, который может быть усилен в кластерах размером от 1 до 5 нм в более тонких пленках. Выводы. Приведенное качественное сравнение туннельной ВАХ для растущих кластеров из коллоидного золота в системе совмещенного АСМ/СТМ и теоретической кривой для полевой зависимости вероятности 2D-диссипативного туннелирования с учетом влияния двух локальных фононных мод широкозонной матрицы показывает наличие возможного вклада диссипативного туннелирования в туннельный ток через растущую квантовую точку на начальной стадии роста. Установлено, что ионный механизм проводимости будет преобладать над туннельным, когда величина напряженности наведенного электрического поля положительных ионов золота превысит величину напряженности внешнего электрического поля.