Актуальность и цели. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе, состоящем из одной функции – штрих Шеффера. Задача синтеза надежных схем, реализующих булевы функции, при константных неисправностях одного типа (например, только типа 0 на входах элементов) решалась ранее автором во многих статьях, но, в отличие от них, в этой работе впервые исследуется модель, в которой каждый элемент схемы может быть подвержен константным неисправностям сразу четырех типов: типа 0 и типа 1 на входах и выходах (с различными вероятностями). Заметим также, что при подходящем выборе параметров эта модель описывает инверсные неисправности элементов на входах и (или) выходах. Цель работы – построить надежные схемы, получить верхние и нижние оценки ненадежности схем. Материалы и методы. При построении надежных схем использованы ранее известные методы синтеза и получения оценок ненадежности. Результаты. Получена верхняя оценка ненадежности схем. Описан класс функций K, содержащий почти все булевы функции, и доказана нижняя оценка ненадежности схем, реализующих функции из этого класса. Для функции из класса K построена схема, верхняя и нижняя оценки ненадежности которой асимптотически равны. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании технических систем для повышения их надежности. Выводы. Почти любую булеву функцию можно реализовать схемой, верхняя и нижняя оценки ненадежности которой асимптотически равны.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки
2015. — Выпуск 2
Содержание:
Актуальность и цели. В математической кибернетике одной из основных задач является задача синтеза управляющих систем, заключающаяся в построении схемы из заданного класса, которая реализует заданную функцию алгебры логики. При решении этой задачи часто требуется учитывать различного рода ограничения на структуру и параметры управляющих систем. Такие ограничения часто более точно описывают реальные вычисления, а исследование сложности функций в моделях с ограничениями представляет большой теоретический интерес. Рассматриваемое в данной работе ограничение относится к способам соединения элементов в схеме. Входы элементов схем делятся на два типа – прямые и итеративные. Итеративные входы служат для присоединения к ним выходов других элементов, а прямые входы являются входами схем. Задача синтеза в этой модели рассматривается для случая формул, т.е. схем без ветвлений выходов элементов. Целью данной работы является получение оценок функции Шеннона высокой степени точности для сложности формул в некоторых полных базисах указанного типа, т.е. оценок, в которых устанавливается асимптотика второго члена асимптотического разложения этой функции. Ранее была получена только асимптотика функции Шеннона для базисов, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций, оценки высокой степени точности для широких классов базисов в этой модели известны не были. Материалы и методы. В работе, в частности, приводится модификация известного ранее оптимального метода синтеза формул с использованием техники моделирования функций алгебры логики переменными на компонентах специальных разбиений множества наборов булева куба. В основе конструкции лежит построение специальных формул, которые реализуют функции, имеющие селекторные разбиения множества своих переменных с константной энтропией. Результаты. Получены оценки высокой степени точности функции Шеннона для сложности формул алгебры логики в некоторых полных базисах с прямыми и итеративными переменными, итеративное замыкание которых содержит класс монотонных функций. Выводы. Впервые в классе формул в базисах с прямыми и итеративными входами выделен достаточно широкий подкласс, в котором получены оценки высокой степени точности функции Шеннона для их сложности.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Ряд спектральных задач теории оптических волноводов и резонаторов сводится к нелинейным задачам поиска характеристических чисел граничных интегральных уравнений Мюллера. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации. Основные цели настоящей работы: реализация метода коллокации для поиска поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего волновода с кусочно-постоянной диэлектрической проницаемостью, теоретическое доказательство сходимости этого метода. Численное решение исследуемой в работе задачи ранее проводилось методом коллокации на основе интегральных уравнений, построенных методом потенциала простого слоя. Поэтому одна из целей данной работы – выяснить, какой из методов построения интегральных уравнений является более эффективным с практической точки зрения при численном решении поставленной задачи: метод граничных интегральных уравнений Мюллера или метод потенциала простого слоя. Материалы и методы. Доказательство сходимости метода коллокации опирается на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач и теории аппроксимации слабосингулярных интегральных уравнений. Сравнительный анализ практической эффективности метода граничных интегральных уравнений Мюллера и метода потенциала простого слоя проводится на основе численных экспериментов решения модельных задач. Результаты. Доказано, что если решение поставленной задачи существует, то существует последовательность характеристических чисел матрицы метода коллокации, сходящаяся при увеличении числа точек коллокации к точному решению. С другой стороны, если существует сходящаяся последовательность упомянутых выше характеристических чисел, то она сходится к точному решению задачи. Численные эксперименты показали сходимость и устойчивость метода коллокации. Выводы. Метод коллокации является теоретически обоснованным методом решения поставленной задачи с гарантированной сходимостью. Однако дискретизация интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядер предложенным вариантом метода коллокации (метод сплайн-коллокации нулевого порядка) неэффективна для слишком малых шагов сетки. Кроме того, метод потенциалов простого слоя не дает преимущества во времени счета по сравнению с использованием граничных интегральных уравнений Мюллера. Поэтому в силу полной эквивалентности системы граничных интегральных уравнений Мюллера исходной дифференциальной задаче их использование для ее численного решения предпочтительнее.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Целью работы является изучение свойств гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля, к которому сводится решение задачи дифракции электромагнитной волны на локально неоднородном диэлектрическом ограниченном теле. Материалы и методы. Основным методом исследования является метод псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. Применяется также теория эллиптических краевых задач и задач сопряжения. Результаты. Доказывается, что при гладких данных задачи решение из пространства квадратично-суммируемых функций будет непрерывным вплоть до границ тела и гладким внутри и вне тела. Выводы. Полученные результаты о гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля позволяют решить вопросы об эквивалентности краевой задачи и уравнения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Часто требуется измерить различие или расстояние между двумя строками (например, в эволюционных, структуральных или функциональных исследованиях биологических строк). Так как строковые последовательности митохондриальных ДНК приблизительно составляют 17 000 символов {a, g, c, t}, то для решения поставленной задачи были выбраны алгоритмы нечеткого сравнения, рассчитывающие расстояние за полиноминальное время. В рамках исследования при расчете метрик различными ранее известными алгоритмами неточного сравнения строк были получены различные результаты. Цель исследования: разработка методов качественной оценки полученных результатов. Разработка качественных оценок позволит сделать выбор более приемлемого алгоритма, что улучшит исследования в различных предметных областях. Материалы и методы. В качестве метода исследования применятся теория треугольной нормы в метрическом пространстве. Результаты. Исходные данные были получены из банка данных NCBI и случайным образом выбраны 30 строковых последовательностей митохондриальных ДНК. В результате работы алгоритмов сравнения 30 строковых последовательностей приведены качественные оценки. Выводы. По полученным качественным оценкам метрик был определен наилучший алгоритм сравнения строковых последовательностей.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Распределение Гаусса естественно возникает во многих приложениях и широко используется в различных теоретических построениях. Важную роль играет и нижняя срезка Q(x) несобственного интеграла от плотности стандартного гауссова распределения. Целью данной работы является получение оценок сверху для произвольной степени функции Q(x) через несобственный интеграл того же вида с нижней границей ax, где a – некоторый параметр. Материалы и методы. Для получения необходимых оценок изучалось поведение разности Qm(x) −Q( mx) на различных интервалах числовой оси, при этом широко использовались хорошо известные свойства гауссова распределения. Кроме того, были выведены точные неравенства для показательной функции специального вида и получены оценки сверху и снизу функции Q(x) . Результаты. В работе показано, что для любого действительного x (при m > 2 ) выполняется неравенство Qm(x) < Q(ax) , где a – произвольное число из интервала 1; m . Кроме того, установлено, что данное неравенство является неулучшаемым по параметру a . Так, в статье показано, что правая граница интервала для a не может быть больше m , а левая меньше 1. Выводы. Произвольную степень функции Q(x) можно равномерно оценить сверху через функцию того же вида с аргументом ax. Полученные оценки могут быть использованы в социологических и демографических исследованиях, в эконометрике и статистике при получении точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что в первую очередь связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, физике. При этом следует отметить два обстоятельства: 1) аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; 2) спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. В настоящее время остались неразработанными методы приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси. Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси методом сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка. Материалы и методы. Обоснование разрешимости и сходимости метода сплайн-коллокации к приближенному решению одного класса линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси, основано на применении методов функционального анализа и теории приближений. Результаты. Предложен и обоснован метод сплайн-коллокации со сплайнами нулевого порядка для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси. Выводы. Построена вычислительная схема, позволяющая эффективно решать прикладные задачи механики, аэродинамики, электродинамики, физики.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Исследование математических моделей иммунологии является в настоящее время активно развивающимся направлением, находящимся на стыке медицины, биологии и математики. Предложены многочисленные модели развития реакции иммунной системы на различные внешние воздействия, из которых наиболее близкие к клинической практике модели Марчука и их обобщения. Модели описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка с различными запаздываниями и их решение в аналитической форме невозможно. Поэтому актуальной является разработка численных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями в нелинейных операторах. Материалы и методы. Вычислительные схемы основаны на предложенном в работе экспоненциальном представлении решения, позволяющего построить итерационный метод с неотрицательными приближениями на каждом шаге. Результаты. Предложен итерационный метод решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, моделирующих иммунные реакции на вирусные и бактериальные заболевания. Исследованы способы проведения различных терапий на примере базовой (простейшей) модели. Выводы. Построен приближенный метод исследования математических моделей иммунологии, имеющий неотрицательное приближение на каждом шаге итерационного процесса. Метод может быть использован при исследовании аналогичных моделей техники, экологии и экономики (модели типа Вольтерра).
Ключевые слова
Актуальность и цели. Рассматриваются задачи проверки исправности и диагностики состояний N контактов путем составления из них двухполюсных контактных схем и наблюдения выдаваемых этими схемами значений на любых входных наборах значений переменных. Допускаются произвольные константные неисправности контактов; при этом предполагается, что не более k контактов неисправны (k – заданное натуральное число, не превосходящее N). Требуется минимизировать число схем, необходимых для проверки исправности и определения состояний всех контактов. Материалы и методы. Используется метод «забивания» контактных схем такими неисправностями контактов, при которых каждая из схем реализует булеву константу. Результаты. Получены нижние оценки k/[sqrt(N)] и k/(N – k) для числа указанных схем. В случаях k = N – 1 и k = N найдены точные значения этого числа. Выводы. Для проверки исправности и диагностики состояний контактов невозможно обойтись схемами, число которых меньше некоторых фиксированных чисел, зависящих от N и k.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Один из важнейших разделов математической кибернетики – теория синтеза, надежности и сложности управляющих систем. Хорошо известны такие модели вычисления дискретных функций, как схемы из функциональных элементов. Эти схемы как из абсолютно надежных, так и ненадежных элементов изучаются давно, для них получено большое число результатов. Однако в реальных схемах приходится учитывать не только функционирование элементов, но и геометрию схемы. В связи с этим была предложена модель клеточных схем из функциональных элементов, где схема представляется в виде прямоугольника, разделенного на клетки, в которых располагаются элементы схемы, имеющие определенные размеры и занимающие некоторую площадь. Клеточные элементы могут быть как функциональными, т.е. реализующими какую-то функцию от своих входов, так и коммутационными, которые служат для передачи сигнала к следующему элементу с возможным изменением направления. В работе предполагается, что коммутационные элементы абсолютно надежны, а на любом из двух выходов каждого из функциональных элементов с одной и той же вероятностью независимым образом появляются инверсные неисправности. Ранее предлагался метод построения асимптотических оптимальных по надежности клеточных схем, основанный на разложении функции по переменной. Однако схемы, построенные таким образом, обладают слишком высокой сложностью. Цель этой статьи – существенно улучшить оценку сложности для асимптотически оптимальных по надежности клеточных схем. Материалы и методы. Для построения асимптотически оптимальных по надежности клеточных схем используются клеточные схемы, реализующие функции выбора. Показано, как при помощи таких схем реализовать любую булеву функцию от n переменных, а также оценена ненадежность и сложность предлагаемых схем, причем сложность существенно меньше по сравнению с ранее известной. Результаты. Предложен метод синтеза асимптотически оптимальных по надежности клеточных схем с улучшенной сложностью. Получена оценка ненадежности предлагаемых схем. Доказаны теоремы о сложности предлагаемых схем. Вывод. Известная оценка сложности для асимптотически оптимальных по надежности клеточных схем была существенно улучшена.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Задача коммивояжера является примером математической модели, которая, будучи созданной для одной предметной области, находит свое применение и во многих других областях. Псевдогеометрическая версия этой проблемы более адекватно описывает множество ее частных случаев, встречающихся в большинстве предметных областей, чем значительно более распространенная геометрическая версия. Цель работы: применить разработанные подходы для решения геометрической версии задачи коммивояжера для ее так называемой псевдогеометрической версии. Материалы и методы. Для решения псевдогеометрической задачи коммивояжера рассматривается несколько случайно сгенерированных перестановок всего множества точек, и для каждой из них применяется алгоритм псевдовосстановления их расположения. Выбор единственного варианта расположения каждой точки возможен после решения оптимизационной задачи, заключающейся в повороте сгенерированного множества точек на некоторый угол и смещении на некоторый вектор. Результат. Сформулированы различные метрики и изучены их свойства, на основании которых разработан эвристический алгоритм локального поиска. Выводы. Применение описанных в настоящей работе метрик и эвристического алгоритма локального поиска позволило повысить эффективность геометрического метода решения псевдогеометрической задачи коммивояжера.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Работа посвящена атомистическому моделированию симметричных наклонных границ зерна (ГЗ) в гексагональной плотноупакованной структуре Zr и исследованию процессов радиационной повреждаемости возле таких границ. Рассмотрены четыре симметричных наклонных ГЗ: Σ14 (2 1 3 0) , Σ14 (4 5 1 0) с осью вращения [0 0 0 1] и Σ32 (23 46 23 27) , Σ32 (1 2 1 3) с осью вращения [1 0 1 0] . Рассчитаны значения удельной энергии соответствующих свободных и межзеренных границ, а также получены оценки ширины зернограничных областей при температурах 0 и 300 К. Материалы и методы. Методом молекулярной динамики проведено моделирование каскадов атомных смещений от первично выбитого атома с энергией 10 кэВ в составных кристаллах с ГЗ при 300 К. Обнаружена склонность произведенных в каскаде точечных дефектов аккумулироваться вблизи плоскости ГЗ, которая является препятствием на пути распространения каскада. Установлено, что вне межзеренной области число выживших в каскаде вакансий превышает число собственных междоузельных атомов (СМА) для всех типов ГЗ. Для большинства рассмотренных границ наблюдается меньшее по сравнению с инициально идеальным кристаллом без ГЗ число СМА, остающихся вне межзеренной области. Результаты. Получены результаты по кластеризации произведенных в каскаде точечных дефектов. Для ГЗ с осью вращения [1 0 1 0] доля кластеризованных вакансий в 1,5–2 раза выше доли кластеризованных СМА. В то же время для границ с осью вращения [0 0 0 1] доля формирующих кластеры СМА незначительно превосходит фракцию кластеризованных вакансий. Кластеры обоих типов представлены в основном малыми образованиями (от 2 до 4 дефектов на кластер). В то же время вакансии часто формируют кластеры довольно большого (>20 вакансий на кластер) размера, в то время как кластеры СМА имеют небольшие размеры.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Модель Хаббарда широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем, при исследовании которых используются разнообразные приближенные методы. Относительно недавно были предложены четыре метода для вычисления функций Грина в приближении статических флуктуаций в модели Хаббарда. Целью настоящей работы является разработка еще двух методов вычисления функций Грина в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций. Материалы и методы. В основе приближения статических флуктуаций лежит метод уравнений движения для операторов рождения. Приближение статических флуктуаций позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений для нахождения операторов рождения. Зная выражения для операторов рождения, можно найти функции Грина, корреляционные функции и энергетический спектр системы. Результаты. Разработанные методы вычисления функций Грина в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций были применены для вычисления функции Грина для димера, гексагона, пентагона и фуллерена С20. Выводы. Полученные в работе результаты показывают, что функции Грина для вышеуказанных систем, полученные методами, предложенными в данной работе, совпадают с функциями Грина для этих систем, полученными ранее разработанными методами.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Загрязнение окружающей среды радионуклидами ныне представляет собой одну из наиболее зловещих опасностей экологического характера. В Пензенском крае проблема обеспечения радиационной безопасности особо актуальна по следующим причинам. Многие территории Пензенской области пострадали после катастрофы на Чернобыльской АЭС. Во многих районах области наблюдается постоянная эксхаляция (истечение) радона из земных недр. После эпохи испытания ядерного оружия в атмосфере почва во многих районах области загрязнилась тяжелыми долгоживущими радионуклидами (например, америцием-241 с периодом полураспада около 500 лет). Целью данной работы является мониторинг биосферы на наличие в ней вышеперечисленных радионуклидов в пределах Пензенской области. Материалы и методы. Для экспериментальных исследований применялась высокоточная радиометрическая аппаратура: спектрометрический комплекс СКС-07П, предназначенный для измерения активности образцов по альфа-, бета-, гамма- и рентгеновскому излучениям, оценки степени обогащения урана и изотопного состава плутония в геометрии, отличной от точечной, автоматизированной обработки результатов измерения и оценки, хранения и вывода информации; радиометр радона РРА-01М-01, предназначенный для экспрессных измерений объемной активности радона в воздухе, воде, почвах. Результаты. Разработана детерминированная модель процессов переноса радона в атмосферном воздухе и произведена проверка согласия между модельными и экспериментальными данными. Данная модель основана на решении уравнений, в которых показана функциональная зависимость эксхаляции радона от характеристик грунтов и происходящих в них физических процессов. Разработана статистическая модель процессов переноса радона. В качестве сглаживающего распределения следует принять вторую или третью реализацию смещенного трехпараметрического распределения Вейбулла – Гнеденко. Использование этого распределения в качестве сглаживающего указывает на существование в летний период сравнительно большого источника объемной активности радона, расположенного на исследуемой территории г. Пензы. Выводы. На территории Пензенской области выявлены зоны, в пределах которых превышен предельно допустимый уровень ионизирующих излучений. В настоящее время повышенная активность 241Am наблюдается по западному направлению. Цель дальнейших исследований состоит в получении наблюдательной информации высокой достоверности об уровнях ионизирующего излучения техногенного и естественного происхождения в почвах, атмосфере, водных объектах и растительности; на ее основе будут разрабатываться практические рекомендации и прогнозы радиационной обстановки, направленные на защиту человека от проникающей радиации.
Ключевые слова
Актуальность и цели. Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой актуальную и сложную задачу. В отличие от линейных дифференциальных уравнений, где разработаны общие методы решения (например, методы Фурье, Лапласа и др.) для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных общих методов решения нет. Каждое нелинейное уравнение или небольшая группа однотипных уравнений требует разработки своих, специфических методов решения. Материалы и методы. В работе рассматриваются нестационарные, затухающие солитонные решения трех уравнений (Кортевега – де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера), описывающих, в частности, разные моды колебаний в плазме. Используя метод масштабных преобразований, найдены нестационарные (затухающие) решения указанных уравнений, справедливые для случая, когда в результате взаимодействия статистического ансамбля солитонов с плазмой на функции распределения электронов и (или ионов) формируется «немаксвеловская» высокоэнергичная часть («степенной хвост»). Результаты и выводы. Полученное решение для уравнения Кортевега – де Вриза можно применять для магнитозвуковых плазменных волн, распространяющихся под углом к магнитному полю, решение для модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза можно применить, например, в теплой пылевой плазме, содержащей два сорта ионов, а решение для нелинейного уравнения Шредингера справедливо, например, в плазменной короне мишени лазерного термоядерного синтеза вблизи критической плотности.
Ключевые слова
Актуальность и цели. В последнее десятилетие прогресс в изготовлении графена и наноструктур на основе графена открывает огромные возможности для создания управляемых интегральных плазмонных устройств и метаматериалов для потенциальных применений в поляризаторах и фильтрах в терагерцовом и инфракрасном диапазонах. Целью данной работы является теоретическое исследование принципов построения и характеристик управляемых электрическим полем поляризаторов терагерцового диапазона на основе периодических 2D-структур из прямоугольных нанолент графена с использованием математического моделирования электродинамической строгости. Материалы и методы. Разработана математическая модель терагерцовых устройств на основе нанолент графена, базирующаяся на решении краевой 3D-задачи дифракции для системы уравнений Максвелла совместно с моделью поверхностной проводимости графена, определяемой формулой Кубо, проекционным методом Галеркина. Результаты. С помощью вычислительного алгоритма, разработанного на основе декомпозиционного подхода методом автономных блоков с наноструктурами графена и виртуальными каналами Флоке, расcчитаны зависимости S-параметра |S21| матрицы рассеяния поляризатора на основе периодической 2D-структуры из прямоугольных нанолент графена на подложке из двуокиси кремния SiO2 от частоты при изменении угла ориентации векторов падающей ТЕМ-волны к нанолентам графена для различных значений химического потенциала в диапазоне частот 24–32 ТГц. Выводы. Из результатов математического моделирования следует, что при изменении ориентации вектора электрического поля падающей ТЕМ-волны от параллельной до перпендикулярной нанолентам графена коэффициент прохождения |S21| существенно уменьшается и в полосе непропускания на резонансной терагерцовой частоте периодическая 2D-структура из прямоугольных нанолент графена является поляризатором. S-параметры матрицы рассеяния поляризатора могут эффективно управляться изменением значения химического потенциала (действием внешнего электрического поля).