Рассматривается гиперболический аналог обобщенного уравнения Дарбу. Исследуется структура нулевых множеств его решений для случая, когда решения являются радиальными функциями по одной из переменных. Показано, что если решение обращается в нуль в некотором кольце, то оно обязано быть равно нулю в некотором другом кольце, содержащем первое.
Рассматривается проблема малых движений и собственных колебаний идеальной несжимаемой жидкости и баротропного газа в контейнере, находящемся в условиях, близких к невесомости. С использованием операторного подхода изучены свойства операторов потенциальной и кинетической энергии системы, доказаны теоремы о свойствах спектра и системы собственных функций задачи, получены достаточные условия неустойчивости системы. Доказаны теоремы о сильной разрешимости исходной начально-краевой проблемы. Изучена задача о собственных колебаниях системы в случае, когда сосуд является цилиндрическим и имеет произвольное поперечное сечение. Установлено наличие гравитационно-капиллярных и акустических волн в системе.
В данной работе изучаются вопросы, связанные с локальным вариантом проблемы Помпейю. Исследуемое множество является правильным симплексом с длиной ребра √2 в четырехмерном пространстве. Получены результаты, аналогичные формулам Стокса, которые позволяют выразить интеграл от некоторого оператора, действующего на заданную функцию, через значения интеграла по подмножествам границы симплекса меньшей размерности (граням и объемным телам (тетраэдрам)). Также уточнены для рассматриваемого множества, имеющиеся оценки радиуса Помпейю.
Рассматриваются задачи статики, устойчивости, собственных колебаний и малых движений идеальной несжимаемой жидкости, расположенной в сосуде с донными отверстиями в условиях, близких к невесомости с учетом капиллярных сил. Изучаются случаи прямоугольного канала (плоская задача) и цилиндрического контейнера (осесимметричная задача). Рассмотрены случаи как горизонтальной, так и криволинейной верхней части свободной поверхности. Проблемы изучаются с использованием методов линейных операторов, действующих в гильбертовых пространствах, а также вариационного и операторного подходов. В задаче статики получены краевые задачи для системы дифференциальных уравнений второго порядка с дополнительным интегральным условием и предложен алгоритм их численного решения. В проблеме устойчивости равновесного состояния гидросистемы доказываются утверждения о статической устойчивости равновесного состояния, основанные на знаке минимального собственного значения ассоциированной спектральной проблемы. С использованием операторного подхода задача об устойчивости приводится к задаче на собственные значения в некотором гильбертовом пространстве; изучаются свойства ее операторных матриц. Доказывается, что эта задача имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей собственных значений, с предельной точкой на +∞ и определяется граница области устойчивости гидросистемы. В проблеме собственных колебаний с использованием вспомогательных краевых задач исследуется соответствующая спектральная проблема; доказывается теорема о свойствах спектра задачи, а также ее следствие о динамической устойчивости и неустойчивости гидросистемы. Доказывается, что если исходные данные начально-краевой задачи о малых движениях системы удовлетворяют некоторым условиям гладкости, то существует единственное сильное решение этой проблемы, а также ассоциированной с ней задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения в соответствующем гильбертовом пространстве.
Рассматриваются три конкретных примера сильно нерегулярных полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов с двухточечными не полураспадающимися краевыми условиями. На основе общих теорем о кратной полноте корневых функций, полученных автором ранее, исследуется кратная полнота корневых функций этих пучков в пространстве L2[0,1]. Установлено, что, несмотря на похожий вид пучков из этих примеров, кратность полноты корневых функций у них совершенно разная: однократная, двукратная и трехкратная. Причем, установленная кратность точная. Построены соответствующие множества вектор-функций ортогональных производным цепочкам соответствующей кратности, построенным по корневым функциям рассматриваемых пучков.
На основе интерполяционной формулы для четного j-многочлена Шлемильха доказан аналог неравенства Бернштейна, где роль производной играет оператор Бесселя B = d/dx + (2p+1)/x d/dx , а роль тригонометрического многочлена выполняет четный j-многочлен Шлемильха.