Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование

Неклассическими называют те модели математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамках одного из классических типов - эллиптического, параболического или гиперболического. Статья содержит обзор результатов автора в области неклассических моделей математической физики, для которых рассмотрены начально-конечные задачи, обобщающие условия Коши и Шоуолтера - Сидорова. Абстрактные результаты проиллюстрированы конкретными начально-конечными задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникающих в последнее время в приложениях, а именно, в теории фильтрации, гидродинамике и мезоскопической теории, и рассмотренных на множествах различной геометрической структуры.

Ключевые слова

We understand the Leontieff type stochastic differential equations as a special sort of Ito stochastic differential equations, in which the left-hand side contains a degenerate constant linear operator and the right-hand side has a non-degenerate constant linear operator. In the right-hand side there is also a summand with a term depending only on time. Its physical meaning is the incoming signal into the device described by the operators mentioned above. In the papers by A.L. Shestakov and G.A. Sviridyuk the dynamical distortion of signals is described by such equations. Transition to stochastic differential equations arise where it is necessary to take into account the interference (noise). Note that the investigation of solutions of such equations requires the use of derivatives of the incoming signal and the noise of any order. In this paper for differentiation of noise we apply the machinery of the so-called Nelson's mean derivatives of stochastic processes. This allows us to avoid using the machinery of the theory of generalized functions. We present a brief introduction to the theory of mean derivatives, investigate the transformation of the equations to canonical form and find formulae for solutions in terms of Nelson's mean derivatives of Wiener process.

Ключевые слова

Inheriting and continuing the tradition, dating back to the Hill-Iosida-Feller-Phillips-Miyadera theorem, the new way of construction of the approximations for strongly continuous operator semigroups with kernels is suggested in this paper in the framework of the Sobolev type equations theory, which experiences an epoch of blossoming. We introduce the concept of relatively radial operator, containing condition in the form of estimates for the derivatives of the relative resolvent, the existence of C 0-semigroup on some subspace of the original space is shown, the sufficient conditions of its coincidence with the whole space are given. The results are very useful in numerical study of different nonclassical mathematical models considered in the framework of the theory of the first order Sobolev type equations, and also to spread the ideas and methods to the higher order Sobolev type equations.

Ключевые слова

Предложен алгоритм явного решения краевой задачи Маркушевича в классе функций, автоморфных относительно фуксовой группы Г второго рода. Краевое условие задано на главной окружности. Коэффициенты задачи являются гельдеровскими функциями. Алгоритм основан на сведении задачи к краевой задаче Гильберта. Получено решение задачи в замкнутой форме при дополнительном ограничении, наложенном на один из коэффициентов задачи b(t): если x+(t), x-(t) - факторизационные множители коэффициента a(t), то произведение функции b(t) на частное от деления x+(t) на x+(t) аналитически продолжимо в область D_ и автоморфно относительно Г в этой области.

Ключевые слова

Рассматривается задача управления системой, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением. Предполагается, что значения управления и помехи в каждый момент времени содержатся в некоторых компактных множествах. Предполагается также, что помехи удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям функционального характера, отражающим природу рассматриваемой задачи. Качество управления оценивается функционалом, заданым на множестве фазовых траекторий рассматриваемой системы, и непрерывным в метрике равномерной сходимости. Ранее установлено, что стратегия с полной памятью разрешает данную задачу управления при компактных ограничениях на помеху и при других функциональных ограничениях, которые к ним сводятся. Вместе с тем, построенные для этих случаев стратегии не являлись универсальными, то есть они зависели от начальной позиции движения системы. Также оставался открытым вопрос о возможности разрешения задач управления с функциональными ограничениями в более узком (классическом) множестве стратегий - позиционных стратегий. В данной статье приводится конструкция оптимальной стратегии, использующая в цепи обратной связи вспомогательную модель управляемой системы и обладающая свойством универсальности. Даны примеры, мотивирующие расширение класса разрешающих стратегий до стратегий с полной памятью.

Ключевые слова

Статья посвящена проблеме разработки метода проекционной регуляризации, исследованию вопросов повышения его эффективности с помощью получения точных по порядку оценок погрешности этого метода и приложению его для решения обратных граничных задач теплообмена. В настоящей работе решается одномерная задача о восстановлении условий теплообмена на одном из концов однородного стержня конечной длины по результатам измерений температуры с конечной ошибкой в точке, находящейся на некотором расстоянии от этого конца. Рассматриваемая обратная задача является некорректной. В работе дается аналитическое решение этой задачи в терминах преобразования Фурье, выписан регуляризующий оператор, указан способ выбора параметра регуляризации и доказана оптимальность по порядку, используемого регуляризующего алгоритма в пространстве L 2. Установлено, что точность приближений имеет порядок ln -1 d. В настоящее время, при использовании вычислительных методов все больше внимания уделяется оценкам погрешности применяемых алгоритмов, их точности и оптимальности. Особую роль эти вопросы играют при численном расчете некорректных задач с использованием различных регуляризаторов. В работе разработана новая технология получения оценки погрешности при решении обратных граничных задач теплообмена. Результаты могут быть использованы как при реальных численных расчетах тепловых характеристик обратных задач теплообмена,так и при разработке новых регуляризующих алгоритмов подобных задач.

Ключевые слова

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования и выполнением работ в пределах данных мегаполисов. Предполагается, что стоимости перемещений зависят от параметра, который имеет смысл дискретного времени; упомянутая зависимость может отражать приоритеты клиентов, связанных с обслуживаемыми мегаполисами и частично компенсирующих затраты исполнителей. Построенный метод решения объективно отвечает широко понимаемому динамическому программированию, применяемому для решения задачи маршрутизации с ограничениями. Предложено расширение исходной задачи, использующее эквивалентное преобразование системы ограничений, в результате чего допустимость (маршрутов) по предшествованию заменяется допустимостью по вычеркиванию (заданий из списка). Тем самым ограничения на маршрут в целом сводятся к системе ограничений на текущие перемещения, что позволяет получить уравнение Беллмана. Для использования последнего в вычислительной процедуре построения слоев функции Беллмана используется подход, в рамках которого предусматривается построение всего массива значений упомянутой функции; данный подход базируется на использовании только существенных (по предшествованию) списков заданий, чем достигается экономия вычислений. Приложения развиваемой теории могут быть связаны с задачами, касающимися снижения облучаемости персонала атомных электростанций при работах в условиях аварийных ситуаций, а также с задачами транспортного обслуживания большого числа клиентов при наличии условий приоритетности, влияющих на выбор очередности обслуживания.

Ключевые слова

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений с интервальной матрицей коэффициентов и интервальной правой частью. Для данных систем вводится понятие псевдорешения. Доказано существование псевдорешения для любых интервальных систем линейных уравнений, предложен способ поиска псевдорешения с помощью решения соответствующей задачи линейного программирования. Вследствие вырожденности полученной задачи для ее решения необходимо использовать вычисления, обеспечивающие точность, намного превышающую возможности стандартных типов данных языков программирования. Симплекс-метод в сочетании с безошибочными дробно-рациональными вычислениями дает решение задачи. Для реализации используется крупнозернистый параллелизм в распределенных системах на основе MPI. Для реализации безошибочных дробно-рациональных вычислений на GPU используется CUDA C.

Ключевые слова

В последнее время широкое распространение получили криптографические примитивы, которые базируются на эллиптических кривых над конечными полями. Основная причина этого заключается в том, что эллиптические кривые позволяют строить примеры конечных абелевых групп с хорошими, для криптографических целей параметрами. Кроме того, меняя характеристику поля можно легко повышать стойкость шифра. Существенную роль играет возможность удобной программной реализации. Разработан и программно реализован криптографический протокол цифровой подписи на основе эллиптических кривых. Протокол производит шифрование сообщения, формирование цифровой подписи, передачу сообщения и расшифровку на стороне получателя. Проанализирована криптографическая стойкость протокола несколькими методами. Построен график зависимости криптографической стойкости протокола от характеристики конечного поля, над которым строится эллиптическая кривая. Написана программа на языке C++ в среде программирования Visual C++ 2010 с поддержкой библиотеки больших чисел GMP, производящая шифрование и дешифрование сообщения в соответствии с построенным протоколом. Разработанная программа является инструментом, позволяющим передавать и получать сообщения с достаточной степенью криптографической стойкости и приемлемой скоростью.

Ключевые слова

The inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model is considered. The inverse problem is reduced to a linear inverse problem for the first order differential equation in a Banach space with a degenerate operator at the derivative and an overdetermination condition on the degeneracy subspace. The unknown parameter in the problem dependens on the source time function. The theorem of existence and uniqueness of classical solutions is proved by methods of degenerate operator semigroup theory at some additional conditions on the operator. General results are applied to the original inverse problem.

Ключевые слова

В последнее время результаты теории уравнений соболевского типа активно применяются для измерения динамически искаженных сигналов. При численном решении таких задач используются формулы, полученные для относительно p-радиального случая уравнений соболевского типа. В статье рассматриваются аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста для операторов разрешающей сильно непрерывной полугруппы для однородных уравнений. Показывается, что в качестве таких аппроксимаций операторов разрешающей полугруппы можно применять более простую формулу. Статья состоит из введения и двух частей. В первой части приводятся сведения, касающиеся относительных резольвент и теории относительно p-радиальных операторов, а во второй рассматриваются формулы аппроксимации.

Ключевые слова

Миссия Южно-Уральского государственного университета как научно-образовательного учреждения, культурного и интеллектуального центра заключается в приращении знаний и опыта, обеспечивающих социально-экономический рост России за счет подготовки ВЫСОКОКЛАССНЫХ СПЕЦИАЛИСТОВ с креативным мышлением и единого комплекса естественно-научных, гуманитарных фундаментальных и прикладных исследований, разработки и продвижения нововведений в науку, учебный процесс и общественное производство.