Чебышевский сборник

Авторы статьи ставили перед собой две основные задачи:охарактеризовать основные этапы жизни профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Андрея Борисовича Шидловского и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имевшей значительное влияние на развитие научных школвобласти теории трансцендентных чисел,где он явилсяодним из ведущих отечественных специалистов и организатором международных научных конференций по этому направлению. Среди его учеников 15 защитили кандидатские диссертации, причём трое из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Особо отмечаются исследования профессора А. Б. Шидловского по теории трансцендентных чисел.

В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности n = 17. Этот результат направленна решение проблемы, известнойвлитературекак проблема С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий [1, 2]. Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные определения,атакжеметодикаисследованияиприведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3]. Настоящий результат получен на основе полного описания строения L-разбиения классической решетки Коксетера A .Такжеприведено пол17ное описание строения её многогранника Вороного-Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами.На основе этого длярешетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытияифункции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытияоказалось лучше (меньше) ранее известных.Тем самым для n = 17 улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами. Исторически исследование L-разбиений решеток Коксетера былоAr n начатоС.С.Рышковымвработе[4]. Среди L-тел решетки A встречается 17 правильный симплекс S относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через F1). Это заранее известное из [4] L-тело,скоторого мы начинали перечисление всех L-тел. Первоначально L-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «методапустого шара» Делоне(см.[5]).Вкачестве первого шагаэтого метода мы использовали результаты работы [4] для S. В настоящей работе мы для формы A доводим начатые в [4] исследования до полного завершения. Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей n = 11,..., 15, мы подробно обсуждаливсвоё времясС. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатаминазывал их «результатами уровня доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для n = 17 по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые. Я посвящаю этот результат памяти своего учителя - Сергея Сергеевича Рышкова.

Одним из мощных средств исследованиявкомплексном анализе являются интегральные представления. Теория аналитических функцийкомплексного переменного построена в большей степени на основе интегральной формулы Коши [1]. Значительным классом некорректно поставленных задач, возникших в физике, технике и других областях знаний, являются так называемые обратные задачи [2] - [4]. Автором [5] - [6] для функции f(z), голоморфной в круге KR : |z|

Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей. Пусть I = [a; b]∈ R - некоторый интервал, y = f(x) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при c > c > 0 удовлетворяет неравенству c < jf′′(x)j < c для всех x ∈ I. Для произвольного γ, 0 Q (n) около любой гладкой кривой y = f(x). В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях G малой меры μ G < c (n)Q???? , 0 ≤ γ ≤ 1/3 .

В конце 80-х и начале 90-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C. F. Dunkl) создал основу для теории специальных функций многих переменных, связанных с группами отражений, и их интегральных преобразований в ряде своих работ. Эта теория получила развитие в работах многих математиков. В настоящее время эта теория получила название теории Данкля в математической литературе. Теория Данкля находит широкие применения в теории вероятностей, математической физике, теории приближений. Настоящая работа посвящена применению гармонического анализа Данкля в пространствах L на евклидовом пространстве R и единичной евклидовой сфере S с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений, к задачам теории приближений. Задача нахождения точной константы в неравенстве Джексона, или константы Джексона, между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности является важной экстремальной задачей теории приближений. В работе рассматривается задача о константе Джесона в пространствах L , 1≤p

С. С. Рышков в своих работах исследовал экстремальные формы и экстремальные решетки. Экстремальные формы и экстремальные решетки связаны с жесткими(в смысле М. Громова и других) математическими объектами.В своих работах,а также в работах с коллегами С. С. Рышков пришел к другим жестким объектам. Жесткие и мягкие задачи, методы и результаты проявляются уже при исследовании классических проблем теории чисел. Остановимся очень кратко на интерпретации сточки зрения жесткихи мягких методов бинарной и тернарной проблем Гольдбаха, проблем гольдбахова типа и методов их исследования.Так как в бинарной (соответственно, тернарной) проблемах Гольдбаха в их современной постановке речь идет о равенствах типа 2n = p + p (соответственно 2n +1= p + p + p ),где n - натуральное число, большее 1(соответственно n больше 2), p ,p ,p - простые числа, то в своей постановке это жесткие проблемы; результаты их исследования также являются жесткими. Однако методы их исследования включают как жесткие методы - точная формула метода Харди - Литтлвуда - Рамануджана (Х-Л-Р), получаемая методами комплексного анализа, так и сочетание жестких и мягких (soft) методов исследования главного члена в форме Х-Л-Риостаточного члена методом тригонометрических сумм Виноградова.Ряд задач аналитической теории чисел допускают динамическую интерпретацию. Отметим в связи с этим, что на связи методов аналитической теории чисел и теории динамических систем обращал внимание и развивал такие аналогии А.Г. Постников. Целью предлагаемой работы не является исчерпывающее введение в жесткость в арифметике и в динамике. Скорее мы сделали попытку представить элементарные методы, результаты и некоторые основные идеи в этой области, вместе с обзором ряда новых результатов. Мы не даем исчерпывающего обзора возможных тем,а также не входим в детали доказательств. После представления элементарного теоретико-числового, алгебраического и алгебро-геометрического введения в жесткие неархимедовы пространства на основе локальных одномерных полных регулярных колец,деревьев и формальных схем п о И.Р. Шафаревичу,Ж.-П. Серру,Дж. Тэйту, Д. Мамфорду, мы даем обзор некоторых новых результатов и методов в направлении жесткости. Изложение включает(ноне исчерпывает) результаты и методыH.Furstenberg, G. A. Margulis, G. D. Mostow, R. Zimmer, J. Bourgain, A.Furman, A. Lindenstrauss, S. Mozes, J. James, T. Koberda, K. Lindsey, C. Silva, P.Speh,A. Ioana,K. Kedlaya,J.Tuitman,и других. Я признателен В. М. Бухштаберу за полезные замечания в процессе обсуждения моего доклада. Я благодарю рецензента за замечания относительно содержания и стиля изложения и за предложения по улучшению. Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

В работе изучается вид и свойства минимальных многочленов остаточных дробей в разложении алгебраических чисел в цепные дроби.Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей степени n ≥ 2, начиная с некоторого номера m = m ( ), последовательность остаточных дробей m является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.Дано определение обобщённого числа Пизо, которое отличается от определения чисел Пизо отсутствием требования целочисленности. Показано, что для произвольной вещественной алгебраической иррациональности степени n≥2, начиная с некоторого номера m = m (α),последовательность остаточных дробей α является последовательностью обобщённых чисел Пизо.Найдена асимптотическая формула для сопряжённых чисел к остаточным дробям обобщённых чисел Пизо. Из этой формулы вытекает, что сопряжённые к остаточной дроби α концентрируются около дроби ????Q / Q либо в интервале радиуса O ( 1 /Q ) в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности, либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной алгебраической иррациональности, имеющей комплексные сопряжённые числа. Установлено, что, начиная с некоторого номера m = m (α), справедлива рекуррентная формула для неполных частных qm разложения вещественной алгебраической иррациональности α , выражающая q через значения минимального многочлена f (x) для остаточной дроби α и его производной в точке q . Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби -????Q /Q . Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами. В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа и о его предельных точках.

Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ζ(s), L-функции Дирихле L(s ) и др. Самой известной из этих функций является дзета-функция Римана. На полуплоскости ℜs>1 она задаётся рядом Дирихле ζ(s)=∑_(n=1)^(+∞)n^(-s) В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ζ(s), лежащих на отрезках критической прямой [T, T + H],H = T^(0.5+ε). В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T, T + H],H = T_28^27+ε. Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой ℜs = 1/2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок ( 1/2 ;1/2 + iT ] критической прямой содержит больше, чем cT e1/20√lnlnlnlnT нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впервые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения. В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу числа нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина. В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале ( 1/2 ;1/2 + iT ] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s, χ )???? функциям Дирихле.В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L????функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T, T + H],H = X^ε, ε>0,X≤T≤2X

Вэтой работе даетсянекоторое развитие ранее проведенных исследованийпо задачеА.В. Малышеваочисле целых точек, лежащихвнекоторых областях на многомерных гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения асимптотических формул дляколичества целых точек в областях типа Де Лури на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной гиперболической поверхности 4∑ 2 p (x1,...,x4)= akx - m =0,m =0 ̸k=1 в области Ωp(L) на ней определяемой неравенством 4∑ 2|ak| x � Lk k=1 получил асимптотическую формулу (при L �⇐ фиксированных a1,a2, a3,a4,и m)для величиныR (Ωp(L)), равнойколичеству целых точеквобласти Ωp(L) на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы Де Лури не оценивает. Вдальнейшемв[1] даетсяобобщение этого результатана многомерный гиперболоид, задаваемый уравнением ss∑∑ p = p (x1,...,xs)= akx + bkxk + c =0, k=1 k=1 где ak, bk, (k =1,...,s), c ̸=0 - целые числа, причем коэффициенты ak не все одного знака, а область Ωp(L) на этом гиперболоиде задается неравенством s∑ 2|ak| x � L.k k=1 В развитие указанной задачи А. В. Малышева мыв уравнении гиперболоида рассматриваем квадратичную форму, эквивалентную диагональной,а область s∑ 2Ωp(L): |ak| x � Lk k=1 заменяется на область s{}∑ (1) (2)Q (xi,yi)+ Q (zi,ti)� L, i=1 (1) (2)где Qи Q- бинарные квадратичные формы, эквивалентные диагоii нальным формам. Обозначим через R (Ωp (L) ,s) количество целых точек, лежащихвобласти Ωp (L) на 4s-мерном гиперболоиде s{}∑ (1) (2)Q (xi,yi) - Q (zi,ti)= h, i=1 (1) (2)где Q(xi,yi), Q(zi,ti) - положительные целочисленные бинарныеii квадратичные формы дискриминанта d;h =0̸, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным. При выводе нашего асимптотического результатаовеличине R (Ωp,L) используется теоремао взвешенном числе целых точек Ih(n, s) из [2] при n �⇐ икомплексный варианттауберовой теоремысостаточным членом для степенныхрядов (см. [5, 6]). Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показателе k =2, но при таком значении k наше уравнение гиперболической поверхности имеет несколько более общий вид.

В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвешивающая функция выбранакак экспонента,впоказателекоторой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных формсоднимиитемжедискриминантом. Выбортакого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопросао числе целых точек лежащихв некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах. Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных суммГаусса, мы рассматриваем многомерную задачуо взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специального вида. Речь идёт об асимптотикес остаточным членом для величины Ih (n, s)= где n �⇐ - вещественный параметр, s()∑ (1) (2)p x,y, z, t= Q (xi,yi) - Q(zi,ti),i i=1 s{}()∑ (1) (2)(1) (2)ρ x,y, z, t= Q (xi,yi)+ Q (zi,ti), i=1 Q,Q- положительные целочисленные бинарные квадратичные форii мыодногои тогоже дискриминанта αF ;h ̸=0 - целое число. При выводе асимптотической формулы для Ih (n, s) существенно используются: 1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы (в нашем случае достаточно использовать двойной �-ряд вместо многомерного) 2) формула для 1 q(q+N)∫ -2λihx e() dx +4κ x 21 n- q(q+N) 3) оценка для суммы Клостермана ()′∑ ′ 2λi ux+vx K (u, v; q)= e , x mod q где ll ⊗ (mod q). Полученная асимптотическая формула для Ih (n, s) обобщаетодин из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на четырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов соответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в случае постоянныхкоэффициентов уравнения гиперболоида обобщаеттакже один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3]главный членв рассматриваемой задаче полученв явном виде,ав [3] он выражен через некоторыйкомплексный интеграл W (N), длякоторого дана только оценка сверху, при этомв нашем случае N =[ n]. В дальнейшем результатовеличинеIh (n, s) може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.

В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида n + n = N с условиями n ∈ N(α, I ), n ∈ N(β, I ), где N(α, I)= {n ∈ N : {nα}∈ I}. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, имеющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным последовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества N(α, I) являются частными случаями так называемых квази решеток.Ранее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая α = β. В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, чтов случае линейных задач возникает нетривиальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений. В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного члена асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств α и β. Если 1, α и β линейно независимы над кольцом целых чисел Z, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен |I ||I |N. В случае линейной зависимости 1, α и β имеет место эффект Гриценко-Мотькиной, то есть главный член имеет вид p({Nβ})N, где p - достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли {Nβ}. В работе получен алгоритм вычисления функции p, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее не обращения в нуль.Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств N(α, I ), N(β, I ).В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.

Диалгеброй называетсявекторное пространство, снабжённое двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢,удовлетворяющими следующим аксиомам: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичностивалгебраической K-теории. Алгебры Лейбница являютсянекоммутативной версией алгебр Ли,адиалгебры - версией ассоциативных алгебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить [x, y]= xy - yx. Диалгебры связанысалгебрами Лейбница аналогично томукак связаны между собой ассоциативные алгебрыиалгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращаетсяв полугруппу.Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы. Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие 0-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢,удовлетворяющими аксиомам (D2) и (D4). Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр РотаБакстера, возникающих на 0-диалгебрах. Понятие ассоциативной 0-диалгебры, то есть 0-диалгебрыс двумя бинарными операциями ⊣ и⊢,удовлетворяющими аксиомам(D1) и(D5), является линейным аналогом понятия g-димоноида. Для того, чтобы получить g-димоноид, мы должны опустить аксиому (D3) внутренней ассоциативностив определении димоноида. Аксиомы димоноидаи g-димоноида появляютсявтождествах триалгебритриоидов, введенныхЛодэиРонко. Класс всех g-димоноидов образует многообразие. Строение свободных g-димоноидови свободных n-нильпотентных g-димоноидов было описано встатье второго автора. Класс всехкоммутативныхg-димоноидов, то есть g-димоноидовскоммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия g-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построенв статье первого автора. В этой статье мы строим свободный коммутативный g-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном g-димоноиде

Исследование арифметической природы значений продифференцированных по параметру обобщенных гипергеометрических функций проводилось во многих работах, см. [1]-[7],атакже соответствующиеглавыв книгах [8]и[9]. Первоначально для этих целей использовалсяметодЗигеля. Этот метод применим для исследования гипергеометрических функций с рациональными параметрами и c его помощью были получены результатыо трансцендентностии алгебраической независимости значений таких функций, а также соответствующие количественные результаты (например, оценки мер алгебраической независимости). Возможности применения метода Зигеля в случае гипергеометрических функцийсиррациональными параметрами ограничены.Вклассической форме метод Зигеля неудается применитьв этой ситуации,и здесь потребовались некоторые дополнительные соображения. Следует, однако, отметить, что наиболее общие результаты об арифметической природе значений гипергеометрических функцийс иррациональными параметрами получены с помощью метода Зигеля (в модифицированном виде, см. по этому поводу [10]и[11]). Здесь речь не идет об алгебраической независимостииприходится ограничиться лишь результатамиолинейной независимости соответствующих значений. Рассуждения по методу Зигеля начинаются с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей в начале координат достаточно высокий порядок нуля. Такая форма строится с помощью принципа Дирихле. Именно невозможность провести соответствующее рассуждение для функцийсиррациональными параметрами служит препятствием при попытках применить метод Зигеля в случае иррациональных параметров. Ужедавно было замечено, чтовнекоторых случаях линейную приближающую форму можно построить эффективно, указав явные формулы для еекоэффициентов. Этот методзначительноуступает методу Зигеляв общности получаемых результатов. Однако, именноспомощью метода, основанного на эффективном построении линейных приближающих форм, были получены наиболее точные оценки снизу модулей линейных форм от значений гипергеометрических функций, а также во многих случаях были получены результаты об арифметической природе значений таких функцийв случае иррациональных параметров (см., например, [12]). Эффективнаяконструкция линейных приближающих форм для функций(2) была предложенавработе [13].Этаконструкция использовалаконтурный интеграл,который применялся ранее для получения результатов об оценках линейных форм от значений гипергеометрических функцийс различными параметрами, см. [14]. В настоящей работе предлагается новый подход к построению линейной приближающей формы для функций (2). Используется связь между гипергеометрическими функциями различных типов, которая позволяет упомянутое построение линейной приближающей формы свести к более простой задаче. В заключении даны краткие указания относительно возможных приложений.

Вработе рассматриваютсяобобщенные гипергеометрические функции иих производные (см. (2)и(3)). Изучение арифметической природы значений таких функций обычно начинается с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей достаточно высокий порядок нуля в начале координат. Если параметры изучаемых функций (в данном случае это числа (1)) рациональны, то построениетакой формы можно осуществитьспомощью принципа Дирихле. Дальнейшие рассуждения опираются на использование построенной формы, а вся схема получила название метода Зигеля, см. [1]и [2]. Если некоторые из чисел (1) иррациональны, то функции (2)и (3) не сводятся к так называемым E-функциям и применить метод Зигеля (в его классической форме) не удается, причем схема не срабатывает в самомначале: невозможноспомощью принципа Дирихле построить первую приближающую линейную функциональную форму(входе рассуждений по методу Зигеля используется целая совокупностьтаких форм). Было замечено, чтовнекоторых случаях первую приближающую форму можно построить эффективно (см., например, [3]и [4]). Имеяв своем распоряжениитакую форму можно, рассуждая посхеме Зигеля (или используя специальные свойства эффективно построенной линейной формы), получить требуемые результаты. Эти результатывсмысле общности обычно значительно уступают тем, которые могут быть получены методом Зигеля, однако у метода, основанного на применении эффективных конструкций, естьисвои достоинства. Одноиз них состоитвтом, что этот методво многих случаях применимитогда,когда некоторые из параметров (1) иррациональны. Другим достоинством являетсяб´ольшая точность оценок (если речь идет, например, об оценке мер линейной назависимости), получаемых этим методом. Все вышесказанное относитсякслучаю,когда рассматриваемые функции не продифференцированы по параметру. Применение метода Зигеля для продифференцированных по параметру функций (таких, например, как функции (4)и(5)) возможно,ионо было фактически осуществленов ряде работ; см. замечанияк седьмойглаве книги А. Б. Шидловского [5]. Но по-прежнему здесь требуется рациональность параметров изучаемых функций,аполучаемыеколичественные результаты недостаточно точны. Проведенные исследования показывают, что использование совместных приближений вместо построения линейной приближающей формы практически всегда дает лучшие результаты. Поэтому, хотя появление (относительно недавно) эффективныхконструкций линейных приближающих форм для продифференцированных по параметру гипергеометрических функцийипозволило решитьряд относящихсясюда задач, основные новые результаты были получены именноспомощью совместных приближений,которыетакже могут быть построены эффективно. В настоящей работе предлагается новая эффективная конструкция совместных приближений для продифференцированных по параметру гипергеометрических функцийводнородном случае. Относительно возможных приложений этойконструкции даютсялишь краткие указания: можно получить результатыолинейной независимости значений функций вида (5)в случае иррациональности некоторых из чисел (1); можнотакже уточнить некоторые из относящихся сюдаколичественных результатов.

Рассматриваются идеальные конструкции, составленные из жестких рычагов, нерастяжимых вер¨евокинесжимаемых распорок. По английски такие конструкции называют „tensegrity frameworks“, что можно перевестикак напряж¨енносвязанныеконструкции.В частном случаеконструкций, составленных из одних лишь рычагов, - это обычные шарнирнорычажные конструкции. В последнее время напряж¨енносвязанные конструкции вс¨е шире применяются в архитектуре и строительстве, например, строительстве мостов. В русской инженерной литературе они называются вантовыми. В англоязычной математической литературе геометрические свойства таких конструкций изучаются с семидесятых годов прошлого века. Данная статья, по-видимому, первая в отечественной математической литературе, посвящ¨енная этому вопросу. Она носит ознакомительно-обзорный характер. Вводится математическая формализация напряж¨енносвязанных конструкций в духе работ автора по шарнирно-рычажным конструкциям. Эта формализация включает оригинальную терминологию, вовсе не сводящуюсякзаимствованию английских слов.Рассматриваютсялишь незакрепл¨енные конструкции. Стяжками называем конструкции, допускающие внутреннее напряжение,ине допускающие непрерывной деформации с изменением формы. Возникает понятие определ¨енной стяжки, то есть такой, которую из данных элементов можно собрать в заданном порядкеединственным способом,сточностью до движенийв пространствекак ж¨есткого целого. Естественно возникает и понятие вполне определ¨енной стяжки,как стяжки определ¨енной не тольковтом евклидовом пространстве,где она построена, ноиво всех евклидовых пространствах большего числа измерений. Основное внимание уделяется задаче - когда стяжка является определ¨енной? Для решения задачи эффективен метод рассмотрения определ¨енным образом выбранной функции - потенциальной энергии конструкции. Ищутсяконструкции, длякоторых эта потенциальная энергия минимальна. Метод подробно изложен в статье. Приведено доказательство основной теоремы, дающей достаточноеусловие сверхопределённости стяжки. Фундаментальное значениев исследовании играет рассмотрение внутренних напряжений конструкции и е¨е матрицы напряжений, через которую записывается потенциальная энергия. Приведены примеры применения этой теоремык плоскими пространственнымконструкциям. Вцелом данная тематикаещ¨енедостаточно разработана,ивнастоящее время активно развивается.Вконцестатьи приведены открытые вопросы.

Некоторые хорошо известные классические результаты, относящиеся к описанию целочисленных представлений конечных групп над дедекиндовыми кольцами R,в частности, для колец целых чисел Z иpадических чисел Z и максимальных порядков локальных полей и полей алгебраических чисел берут начало в классических работах С.С. Рышкова,П.М. Гудивка, А. В. Ройтера, А. В. Яковлева, В. Плескена. Для их явного описания важно найти матричные реализаций представлений,и один из возможных подходов состоит в описании максимальных конечных подгрупп GL (R) над дедекиндовым кольцом R при фиксированном натуральном n. Основная идея, лежащаявоснове геометрического подхода, была приведена в работах С. С. Рышкова по вычислению конечных подгрупп из GL (Z) и дальнейших работах М. ПостаиВ. Плескена.Тем не менее, было неясно, что происходит при расширении дедекиндова кольца R в общем случае,и в случаях представлений произвольных p-групп, сверх разрешимых групп или групп заданного класса нильпотентности. В настоящей работе изучаются представления вышеуказанных классов групп,в частности, доказано, что при фиксированном n и любой заданной неабелевой p-группы G существует бесконечное число попарно неизоморфных абсолютно неприводимых представлений группы G. Комбинаторная конструкция серии этих представлений полученав явном виде. Внастоящей работе построена бесконечная цепочкацелочисленных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечных p-группс дополнительнымиусловиями сравнимости по модулю дивизоров простого числа p. Мы рассматриваем некоторые связанные нашей конструкцией вопросы, включая задачи погружения в теории Галуа для локальных точных примитивных представлений сверхразрешимых групп и целочисленные представления, возникающие из эллиптических кривых.

На кольце Z целых чисел можно ввести топологию ξ, рассматривая множество идеалов(m)вкачестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложенияиумножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологическогокольца. Обозначим этокольцо Zπ . Бесконечная последовательность x1, x2, . . . целых чисел называется фундаментальной, если для любого k ⇒ N существует N⇒ N такое, что для всех m,n > N справедливо сравнение xm ⊗ xn( mod k!). Метрическое пространство Zπ не является полным. Например, последовательность 1!, 1!+2!,..., 1!+2!+...+n!,... являетсяфундаментальной, но не имеет предела в Zπ . Для фундаментальных последовательностей {xk} и{yk} рассмотрим последовательности {xk + yk}, {xk - yk}, {xk · yk}. Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов изкольца Zπ образуюткольцо. Будем называть последовательность c1,c2,... нулевой последовательностью, если limn≥⊂ cn =0 , где предел понимается в смысле топологии кольца Zπ . Назовем фундаментальные последовательности {xk} и {yk} эквивалентными, если их разность {xk - yk} является нулевой последовательностью. Это свойство является рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть определяет отношение эквивалентности. Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из Zπ . Легко проверить, что если последовательность {xk} эквивалентна последовательности {uk},а последовательность {yk} эквивалентна {vk}, то {xk +yk} эквивалентна {uk +vk}, {xk -yk} эквивалентна {uk -vk}, {xk ·yk}эквивалентна {uk ·vk}. Поэтому на множестве полиадических чисел можно ввести операции сложенияиумножения, что позволяет говоритьокольце G целых полиадических чисел. Вложение кольца Z в G осуществляется сопоставлением элементу x ⇒ Z класса x фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности x, x, x, . . .. Так как Zπ - метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству Gπ . Элементы a ⇒ Gt имеютканоническое представлениев видеряда ⊂∑ a = an · n! n=1 где an ⇒{0, 1,...,n}. Кольцо Gπ являетсяпрямым произведениемколец Zp по всем простым числам pi, при этомряд a сходитсявлюбомZp . Действительно, степень, вкоторой простое числоp входитвразложение числа n! на простые множители, равна , где Sn - сумма цифр в p-ичном разложении числа n. Следовательно, для любого pi при n �⇐ |an · n!|p � 0, ∑⊂что является достаточным условием сходимости ряда a = · n! в n=1 n Zp . Вработе исследуютсяарифметические свойства почти полиадических чисел ⊂∑ ai (ai + bi) ... (ai +(n - 1)bi) ,i =1, ..., m, n=1 где числа ai,bi ⇒ Z, (ai,bi)=1. Вводятсяпонятия алгебраическое полиадическое число, трансцендентное полиадическое число, бесконечно трансцендентное полиадическое число,глобально трансцендентное полиадическое число, алгебраически зависимые полиадические числа, алгебраически независимые полиадические числа, бесконечно алгебраически независимые полиадические числа,глобально алгебраически независимые полиадические числа. Доказана теоремаобесконечной алгебраической независимости почти полиадических чисел ai, определенных равенствами ⊂∑ ai (ai + bi) ... (ai +(n - 1)bi)= ai, n=1 где ai,bi ⇒ Z, (ai,bi)=1, i =1,...,m. ai aj- ̸⇒ Z, ̸i = j. bi bj Для доказательства теоремы о бесконечной алгебраической независимости почти полиадических чисел использовалась теорема: Пусть f1(z),...,fm(z) входят в рассматриваемый подкласс F -рядов, составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ... ∑ mY = i =1, . . . , m, и алгебраически независимы над Q(z).ij=1 i,j i Пусть число η ⇒ Z,η ̸ =0 и отлично от особых точек системы m∑ Y = Bi,j(z)Yi,i =1, . . . , m. i j=1 Тогда почти полиадические числа ⊂∑ ai (ai + bi) ... (ai +(n - 1)bi)= ai n=1 бесконечно алгебраически независимы., которая полученаспомощью модифицированного метода Зигеля- Шидловского для F -рядов,и теорема доказывающая алгебраическую независимость над Q(z) рядов f1(z),...,fm(z): Пусть ζ1,...,ζm - различные рациональные числа, отличные от 0 и пусть ζi - ζj ̸⇒ Z, i ≠j, . Тогда ряды f1(z),...,fm(z) алгебраически независимы над Q(z)., которая имеет ту же схему доказательства, что и доказательства теорем В. Х. Салихова.

Понятия риккартового и бэрового кольца возникли в теории линейных операторов гильбертова пространства. Бэровыкольца были введены И. Капланскимв1955 году, риккартовыкольца были введены С. Маэдав 1960 году.Впоследнее время активно изучаютсямодульные аналоги этих понятий. В настоящей работе вводятся и изучаются понятия существенно бэровых модулей, существенно квазибэровых модулей и дуальных к ним модулей. Показано, что прямое слагаемое существенно бэрового модуля является существенно бэровым модулем. Также установлено, что каждый свободный модуль над существенно квазибэровым справа кольцом является существенно квазибэровым модулем и каждый конечно порожденный свободный модуль над дуально существенно квазибэровым справа кольцом является дуально существенно квазибэровым модулем. Если M - CS-риккартовый модульи M - SSIP-CS-модуль, то M - существенно бэровый модуль. Обратное верно, если SocM ≡ M. Если M - d-CSриккартовый модуль и M - SSSP-d-CS-модуль, то M - дуально существенно бэровый модуль. Обратное верно, если RadM ≪ M. Если R - полуартиново справакольцо, то M - существенно бэровый модульвточности тогда,когда M - CS-риккартовый модульи M - SSIP-CS-модуль. Если R - правое max -кольцо, то M - дуально существенно бэровый модуль в точности тогда, когда M - d-CS-риккартовый модуль и M - SSSP-d-CS-модуль. Если M - проективный модульи P(M)=0, то M - квазибэровый модуль тогдаитолькотогда,когдакаждый вполне инвариантный подмодуль модуля M являетсясущественным подмодулемвнекотором вполне инвариантном прямом слагаемом модуля M, тогдаитолько тогда,когда M - строго существенно квазибэровый модуль. Описаны квазибэровы проективные модули,укоторых пресечение всех2 -первичных подмодулей равно нулю. Из полученных результатоввкачестве следствий выводятся известные факты, связанныес бэровымии дуально бэровыми модулями.

Гиперболическая плоскость H положительной кривизны реализуется на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости P ,т.е. на идеальной области плоскости Лобачевского.В работах автора построены первые разбиения плоскости H. Среди них есть серии нормальных, но не моноэдральных разбиений и серии моноэдральных разбиений, не являющихся нормальными. В данной работе построены серии первых нормальных моноэдральных разбиений плоскости H. Одним из топологических отличий плоскости H от плоскости Лобачевского P является тот факт,что никакая прямая плоскости H не разбивает плоскость на части (набор чисел Бетти для плоскости H: β0 =1, β1 =1, для плоскости Λ : β0 =1, β1 =0). Вследствие этого основные известные методы построения разбиений плоскости Лобачевского не могут быть применены в разбиениях плоскости H.В качестве исключения можно рассматривать схему разбиения плоскости Λ , предложенную венгерским математиком К. Берёцким. В данной работе схема Берёцкого адаптирована к плоскости H,с ее помощью построены нормальные моноэдральные разбиения плоскости H с одной удаленной параболической прямой. Подробно исследованы ячейки построенных разбиений - правильные орициклические n-трапеции. Правильной орициклической n-трапецией называем (n + 3)-реберник, два ребра которого -конгруэнтные отрезки параллельных гиперболических прямых, а остальные ребра - конгруэнтные между собой эллиптические отрезки, при чем один из них служит внутренней хордой некоторого орицикла ω, а остальные n отрезков - внутренними хордами орицикла,концентрического с ω. Для исследования ячеек разбиения в работе введена орициклическая система ортогональных криволинейных координат. Получены вспомогательные формулы площадей некоторых фигур на плоскости H. Доказано, что площадь правильной орициклической n-трапеции можно выразить с помощью введенной автором функции α угла квази параллельности на плоскости H,а длина бокового ребра не зависит от длины эллиптических ребер и равна pln n,где p - радиус кривизны плоскости H.

Исследуются группы с ограничениями на подгруппы.Рассматриваются локально разрешимые группы с условием максимальности для подгрупп. Выделена подгруппа локально разрешимой группы,такая, что из выполнимости для неё условия максимальности следует выполнимость данного условия на всей группе.

В работе приведена конструкция обобщающая алгебры инцидентности на случай колец формальных матриц. Вводятся аналоги частичного порядкаи предпорядка - частичный γ-порядоки γ-предпорядок. Рассмотрен вопрос обратимости элементов обобщенной алгебры инцидентности. Приведен алгоритм нахождения обратного элемента алгебры и явная формула, верная,в частности,и для алгебр инцидентности. Подробно рассмотрен случай обобщенной алгебры инцидентности над полем.Вэтом случае γ-предпорядок допускает введение отношения эквивалентности на нем,которое индуцирует блочную структуру обобщенной алгебры инцидентности. Как и в случае алгебры инцидентности, существует тесная связь между алгебрами над частичными γ-порядкамиинад γ-предпорядками.Так, если известны размеры классов эквивалентности, то алгебра над γ-предпорядком с точностью до изоморфизма восстанавливается по соответствующей алгебре над частичным γ-порядком. Показано,что обобщенную алгебру инцидентностиможновложитькак подалгебру в соответствующее кольцо формальных матриц над тем же множеством. Изучена проблема изоморфизмаипоказано, что она сводится к проблеме изоморфизма для обобщенных алгебр инцидентности над частичным γ-порядком. Было найдено частичное решение этой проблемы. Введена функция Мебиуса обобщенной алгебры инцидентности. Приведен аналог формулы обращения Мебиусаипоказано, что основные свойства остаются вернымии для обобщенной алгебры инцидентности. Особый интерес представляют обобщенные алгебры инцидентности с {0, 1}-мультипликативной системой. Есть основания полагать, что над полем они исчерпывают все обобщенные алгебры инцидентности.

В работе найдена оценка полной рациональной арифметической суммы от многочлена, точная по степени его знаменателя,с оценкой константы, зависящей от степени многочлена.

В статье приводится серия пользовательских рекурсивных функций для разнообразных задач поискаи замены элементовв гнездовых массивах. Последние определяются рекурсивнотак,как этосделанов системе инженерных и научных вычислений PTC Mathcad Prime, то есть в виде матриц, элементыкоторых могут бытьскаляры, строкииснова гнездовые массивы. Некоторые задачи поиска рассмотрены в [1-4]. Нашей задачей являлось развитие имеющихся и создание новых средств, связанных как собычным,такисобобщенным поискомизамещением элементоввгнездовых массивах. Пусть A - скаляр, строка или гнездовой массив, B - гнездовой массив. Задачис обобщенными вхождениями A в B (обобщенным поиском A в B), и замещением таких вхождений возникают тогда, когда в A или в B могут присутствовать специальные элементы, отождествляемыеслюбым скаляром, строкой или гнездовым массивом.Встатье сформулировано 10 задач. Для каждой из них предложено одно или более решенийввиде функций на языкепрограммирования PTC Mathcad Prime. Все созданные функции протестированы на большом количестве примеров, но тесты приведены не полностью.

Решение задач с данными, представленными вложенными или, подругому, гнездовыми массивами, является непростым делом из-за достаточно непредсказуемой их структуры. И здесь во многих случаях спасительной оказывается рекурсия. Ее использование позволяет линейно по однойитойжесхеме осуществлять пробежку по всем элементамкаждого уровня любого гнездового массива вне зависимости от его структуры и глубины вложенности. Гнездовой массив можно интерпретировать деревом,корнемкоторого являетсясам массив, от него идут дугикмассивамэлементамит.д. Листьямиподобного дерева являютсяскаляры или строки -конечные элементы, не имеющие ссылок на последующие массивы. Встатье для решенияряда задачобщегохарактерасгнездовыми массивами предлагаются соответствующие рекурсивные программы-функции. Вот примерытаких задач:подсчитать общееколичество листьев массива; сформировать массив из транспонированных на всех уровнях вложенности элементов исходного массива; выяснить, является ли данный объект (скаляр, строка, простой массив, гнездовой массив) элементом данного массиванакаком-либо уровне вложенности;подсчитатьколичество вхождений объекта в массив на всех уровнях вложенности; собрать все листья массива в вектор, заместить листья данного массива элементами какого-либо вектораит. п. Во всех случаях рекурсивная триадатакова: параметр рекурсии - гнездовой массив; декомпозиция - переходы на всех уровнях вложенности от массивов к их элементам и так до листьев; рекурсивная база, то есть тривиальные случаиврекурсии - листья массивов [1]. Предлагаемые лаконичные рекурсивные программы-функции решения перечисленных и некоторых других задачреализованы на простомиинтуитивно понятном языке программирования системы инженерных и научных вычислений PTC Mathcad Prime (версия 3.1) [2,3]. Отметим, чтовэтой системе гнездовые массивы - это вложенные друг в друга матрицы.

В PTC Mathcad, да и в прежних версиях Mathcad, для числовых и символьных вычислений предложена специальный оператор векторизации, с помощью которого можно выполнять многие встроенные и некоторые пользовательские функцииодной переменной надкаждым скалярным или строковым элементом простых или гнездовых (вложенных) массивов. Этот оператор выглядитввиде направленной слева направо стрелки над выражением. Операцию векторизацииможно применятьиквстроенным функциям нескольких переменных, но тольконад простыми массивами со скалярными или строковыми элементами. Итак, подчеркнем, что для встроенных функций отодной или нескольких переменных операция векторизации в случае гнездовых массивов может быть реализована далеко не всегда. А для пользовательских функций она, как правило, не реализуется даже для простых массивов. Встатье сняты все упомянутые ограничения, то есть построены аналоги операции векторизации для любых встроенных или пользовательских функций от одной или нескольких переменных при простых или гнездовых массивах. Предложеныкомпактные рекурсивные функции, выполняющие роль оператора векторизации.Рассмотрено два возможныхподхода к решению данной задачи. При первом подходе для функций g от n переменных строятся отдельные рекурсивные программы-функции F 1, F 2, F 3, ..., реализующие векторизацию соответственно при n =1, 2, 3,... . При втором подходе для функции g от n переменных создается единая при любых n =1, 2, ... программа-функция F , выполняющую роль оператора векторизации. В связи с задачей векторизации гнездовых массивов сформулированы некоторые вспомогательные задачи и для них предложены решенияв виде рекурсивных функций.