Рассматривается линейная дифференциальная игра удержания с простым движением. Данная игра рассматривается со стороны первого игрока, которому необходимо удерживать состояние системы в заданном выпуклом терминальном множестве на протяжении всего времени игры, несмотря на возможную поломку и управление второго игрока. Под поломкой понимается мгновенная остановка первого игрока в заранее неизвестный момент времени, через определенное время он устранит поломку и продолжит движение. Вектограммами управлений игроков являются n-мерные выпуклые компакты, которые зависят от времени. Для построения u-стабильного моста используется второй метод Л.С. Понтрягина. Так строится многозначное отображение на основе альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина, после чего доказывается, что построенное отображение является u-стабильным мостом для рассматриваемой игры, если выполняется ряд условий. В конце статьи рассматривается простой пример на плоскости, где вектограммы игроков есть круги с центром в начале координат и с постоянным радиусом, причем радиус круга первого игрока строго больше второго. В данном примере стоится u-стабильный мост по предложенному методу в статье и находится экстремальная стратегия для первого игрока на построенный u-стабильный мост.
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
2022. — Выпуск 2
Содержание:
К концу прошлого века в математической теории дифференциальных позиционных игр (ДПИ) утвердились четыре направления: бескоалиционный вариант ДПИ, кооперативный, иерархический и, наконец, наименее изученный коалиционный вариант ДПИ. В свою очередь, внутри коалиционного обычно выделяются игры с трансферабельными выигрышами (с побочными платежами, когда игроки в течение игры могут делиться своими выигрышами) и нетрансферабельными выигрышами (игры с побочными платежами, когда такие перераспределения отсутствуют по тем или иным причинам). Исследования коалиционных игр с побочными платежами сосредоточены и активно ведутся на факультетах прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербургского госуниверситета и института математики и информационных технологий Петрозаводского госуниверситета (профессора Л.А. Петросян, В.В. Мазалов, Е.М. Парилина, А.Н. Реттиева и их многочисленные ученики). Однако побочные платежи не всегда присутствуют даже в экономических взаимодействиях, более того, побочные платежи могут быть вообще запрещены законодательно. Предпринятые нами в последние годы исследования равновесия угроз и контругроз (санкций и контрсанкций) в бескоалиционных дифференциальных играх позволяют, на наш взгляд, охватить и некоторые аспекты нетрансферабельного варианта коалиционных игр. Как раз вопросам внутренней и внешней устойчивости коалиций в классе ДПИ и посвящена настоящая статья. В ней выявлены коэффициентные ограничения в математической модели дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игре шести лиц с двухкоалиционной структурой, при которых эта коалиционная структура внутренне и внешне устойчива.
Ключевые слова
We consider the problem of determining point sources for mathematical models of heat and mass transfer. The values of a solution (concentrations) at some points lying inside the domain are taken as overdetermination conditions. A second-order parabolic equation is considered, on the right side of which there is a linear combination of the Dirac delta functions δ(x-xi) with coefficients that depend on time and characterize the intensities of sources. Several different problems are considered, including the problem of determining the intensities of sources if their locations are given. In this case, we present the theorem of uniqueness of solutions, the proof of which is based on the Phragmén-Lindelöf theorem. Next, in the model case, we consider the problem of simultaneous determining the intensities of sources and their locations. The conditions on the number of measurements (the ovedetermination conditions) are described which ensure that a solution is uniquely determined. Examples are given to show the accuracy of the results. This problem arises when solving environmental problems, first of all, the problems of determining the sources of pollution in a water basin or atmosphere. The results are important when developing numerical algorithms for solving the problem. In the literature, such problems are solved numerically by reducing the problem to an optimal control problem and minimizing the corresponding objective functional. The examples show that this method is not always correct since the objective functional can have a significant number of minima.
Ключевые слова
Получено точное аналитическое решение в квадратурах начально-краевой задачи для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода для бесконечной полосы, причем одна из ее границ движется с постоянной заданной скоростью, уменьшая толщину полосы. Предварительно исходная система уравнений путем использования автомодельной замены пространственной переменной сведена к системе с неподвижной границей, к который применен метод разделения зависимых переменных. Требование равенства нулю коэффициентов перед производной первого порядка по автомодельной производной и отдельно входящей функцией в модифицированном уравнении в частных производных параболического типа позволило определить общую структуру решения, содержащего неизвестную функцию. Эта функция представлена суперпозицией двух потенциалов, которые связаны пропорционально с помощью автомодельной переменной, что дало возможность упростить модифицированное уравнение и применить для его решения классическое интегральное синус-преобразование Фурье. Результаты расчетов продемонстрировали динамику локального профиля температуры по изменяющейся толщине полосы с постоянной скоростью, причем кинетика среднеинтегральной температуры показывает, в отличие от случая отсутствия движения границы, наличие максимума, смещающегося с ростом отношения скорости перемещения границы к скорости переноса теплоты теплопроводностью к неподвижной границе. В предположении, что толщина полосы является параметром, задача в исходной формулировке решена методом одностороннего интегрального преобразования Лапласа по времени.
Ключевые слова
Исследуются условия разрешимости одного класса краевых задач для нелокального бигармонического уравнения в единичном шаре с условиями Неймана на границе. Нелокальность уравнения порождается некоторой ортогональной матрицей. Исследованы существование и единственность решения поставленной задачи Неймана и получено интегральное представление решения через функцию Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре. Сначала устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения: приводится функция Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре, выписывается представление решения задачи Дирихле через эту функцию Грина, находятся значения интегралов от функций, возмущенных ортогональной матрицей. Затем доказывается теорема о представлении решения вспомогательной задачи Дирихле для нелокального бигармонического уравнения в единичном шаре. Решение этой задачи выписывается с использованием функции Грина задачи Дирихле для обычного бигармонического уравнения. Приводится пример решения простой задачи для нелокального бигармонического уравнения. Далее сформулирована теорема о необходимых и достаточных условиях разрешимости задачи Неймана для нелокального бигармонического уравнения. Доказательство основной теоремы опирается на две леммы, с помощью которых удается преобразовать условия разрешимости задачи Неймана к более простому виду. Решение задачи Неймана представляется через решение вспомогательной задачи Дирихле.
Ключевые слова
Представлен способ задания начальных условий на границе тела произвольной формы на прямоугольной сетке. В качестве рассматриваемого тела выбран сферический объем сжатого газа, образовавшийся в результате взрыва над поверхностью Земли. Так как ячейки расчетной сетки прямоугольные, а контур криволинейный, то для задания условий на границе используются дробные ячейки. Давление и плотность внутри сферы известны и распределены равномерно по всему объему. Параметры на границе тела предлагается рассчитывать пропорционально объему, который занимает тело в каждой ячейке, через которую проходит контур. Такой объем может быть найден интегрированием по области, отсекаемой кривой от прямоугольной ячейки сетки. Тестирование алгоритма проводилось на численном решении задачи о разлете шара в чистом газе методом крупных частиц. Граница шара является контактным разрывом, поэтому для демонстрации работы метода приведены графики положения изолиний плотности в процессе расширении сферы. Результаты расчетов показали, что описанный механизм обеспечивает сохранение сферической границы в процессе счета: отклонение от значений, удовлетворяющих уравнению окружности, составило менее 1 %.
Ключевые слова
Using the electron density functional theory, numerical modelling of bilayer graphene has been performed. The structure and binding energy of the layers depending on the representation of the wave function of the system have been studied: plane waves (VASP package) and atomic-like orbitals (SIESTA package); and choice of approximation for the exchange-correlation (XC) functional. It has been shown that being in the free form the system creates a stable AB structure of bilayer graphene. The calculation of the layer binding energy has shown that the results of modelling performed with different basis for the wave function are consistent when using XC functionals corresponding to each other and considering the correction to the basis set superposition error in the tight binding method. As expected, the generalized gradient approximation (GGA) has shown underestimated values of the interaction energy of graphene layers. Comparison with experimental data has shown that the energy and geometric characteristics of bilayer graphene are best described by the local electron density approximation (LDA). The 2nd and 3rd generation semi-empirical Grimme corrections for GGA have given estimates of the binding energy higher than LDA, but also close to the experimental results.
Ключевые слова
Анализ известных приближений для описания зависимости теплоемкости при постоянном объеме энергетических материалов (молекулярные кристаллы) от температуры кристалла показал, что существуют надежные аппроксимации зависимости теплоемкости при постоянном объеме, не требующие проведения сложных квантово-механических расчетов для определения частот нормальных колебаний как межмолекулярных, так и внутри молекулы. Для получения зависимости тепловой части внутренней энергии молекулярного кристалла, которая отвечает за разогрев материала, от температуры требуется проинтегрировать по температуре выражение теплоемкости при постоянном объеме. В данной работе были проведены расчеты зависимости тепловой части внутренней энергии молекулярного кристалла для случая, когда она вычисляется через частоты нормальных колебаний, и случая, когда она вычисляется путем интегрирования теплоемкости при постоянном объеме по температуре при помощи аппроксимационных формул. При решении спектральной задачи по определению частот нормальных колебаний внутри молекулы были использованы квантово-химические методы РМ-3 и DFT. В работе представлены зависимости тепловой части внутренней энергии молекулярных кристаллов от температуры, рассчитанные для разных способов определения, и проведен сравнительный анализ, который показал, что различие составляет менее 1 %.